Ejercicio resuelto de Ondas · Física · La Rioja · 2021

Un foco genera ondas armónicas de 2 mm de amplitud con una frecuencia de 250 Hz, que se propagan en el sentido positivo del eje $x$ con una velocidad de 250 m/s. Determine la ecuación de dichas ondas sabiendo que en el instante inicial $t = 0\ \text{s}$, la elongación de un punto situado a $x = 3\ \text{m}$ del foco es $y = -2\ \text{mm}$.

$\textbf{Determine la ecuación de dichas ondas sabiendo que en el instante inicial } \boldsymbol{t = 0\ \text{s}}\textbf{, la elongación de un punto situado a } \boldsymbol{x = 3\ \text{m}}\textbf{ del foco es } \boldsymbol{y = -2\ \text{mm}}\textbf{.}$

Se calculan primero los tres parámetros de la onda:

$\omega=2\pi f=2\pi\cdot 250=500\pi\ \text{rad/s}$

$\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{250}{250}=1\ \text{m}$

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=2\pi\ \text{rad/m}$



La onda se propaga en el sentido POSITIVO del eje X, de modo que los dos términos de la fase llevan signos contrarios:

$y(x,t)=A\,\text{sen}\left(\omega t-k\,x+\varphi_0\right)$

La fase inicial la fija la condición del enunciado. En $t=0$ y $x=3\ \text{m}$ la elongación es $-2\ \text{mm}$, es decir, el valor MÍNIMO posible: ese punto está justo en el valle de la onda.

$-A=A\,\text{sen}\left(-k\cdot 3+\varphi_0\right)\Rightarrow \text{sen}\left(-6\pi+\varphi_0\right)=-1$

$-6\pi+\varphi_0=-\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow \varphi_0=6\pi-\dfrac{\pi}{2}$

Como la fase está definida salvo múltiplos de $2\pi$ y $6\pi$ lo es, queda simplemente:

$\varphi_0=-\dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}$

La ecuación de la onda es, por tanto:

$y(x,t)=2\cdot 10^{-3}\,\text{sen}\left(500\pi\,t-2\pi\,x-\dfrac{\pi}{2}\right)\ \text{m}$

con $x$ en metros y $t$ en segundos. Se comprueba la condición: para $t=0$ y $x=3$ el argumento vale $-6\pi-\pi/2$, cuyo seno es $-1$, y la elongación sale $-2\ \text{mm}$.