Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2021

Un rayo de luz monocromática de frecuencia $f = 5\cdot 10^{14}\ \text{Hz}$, al incidir con un ángulo de $60^{\circ}$ en el punto A situado en la interfase entre el aire (índice de refracción $n_{1} = 1$) y una lámina de vidrio (índice de refracción $n_{2} = 1{,}52$), se refracta. El rayo refractado alcanza al punto B, situado en la interfase entre el vidrio y el aceite (índice de refracción $n_{3} = 1{,}45$) y sufre una nueva refracción. Calcule:



a) El valor de los ángulos $\theta_{2}$ y $\theta_{3}$ que forman los rayos refractados con la normal.

b) La velocidad y la longitud de onda del rayo en el vidrio.

Dato: velocidad de la luz en el vacío $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

$\textbf{a) El valor de los ángulos } \boldsymbol{\theta_{2}}\textbf{ y } \boldsymbol{\theta_{3}}\textbf{ que forman los rayos refractados con la normal.}$

Se aplica la ley de Snell en cada una de las dos interfases. En la primera, entre el aire y el vidrio:

$n_1\,\text{sen}\,\theta_1=n_2\,\text{sen}\,\theta_2$

$\text{sen}\,\theta_2=\dfrac{1\cdot\text{sen}\,60^\circ}{1{,}52}=0{,}570$



$\theta_2=34{,}7^\circ$

En la segunda, entre el vidrio y el aceite, el ángulo de incidencia es el mismo $\theta_2$, porque las dos caras son paralelas:

$n_2\,\text{sen}\,\theta_2=n_3\,\text{sen}\,\theta_3$

$\text{sen}\,\theta_3=\dfrac{1{,}52\cdot 0{,}570}{1{,}45}=0{,}597$

$\theta_3=36{,}7^\circ$

Los ángulos son $\theta_2=34{,}7^\circ$ y $\theta_3=36{,}7^\circ$. Conviene notar el atajo: al ser todas las caras paralelas, el producto $n\,\text{sen}\,\theta$ se conserva a lo largo de toda la pila, de modo que $\theta_3$ se puede obtener directamente del aire al aceite, $\text{sen}\,\theta_3=\text{sen}\,60^\circ/1{,}45$, sin pasar por el vidrio.

$\textbf{b) La velocidad y la longitud de onda del rayo en el vidrio.}$

El índice de refracción es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y en el medio:

$v=\dfrac{c}{n_2}=\dfrac{3\cdot 10^{8}}{1{,}52}$

$v=1{,}97\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

La frecuencia no cambia al pasar de un medio a otro, así que la longitud de onda en el vidrio se obtiene con la nueva velocidad:

$\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{1{,}97\cdot 10^{8}}{5\cdot 10^{14}}$

$\lambda=3{,}95\cdot 10^{-7}\ \text{m}=395\ \text{nm}$

Dentro del vidrio la luz viaja a $1{,}97\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ y su longitud de onda es de 395 nm, frente a los 600 nm que tenía en el aire.