Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2021

Un electrón (carga $q = -1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$) penetra en una región del espacio en la que existe un campo eléctrico uniforme, paralelo al eje OX cuya intensidad es $\vec E = 1000\,\vec\imath\ \text{V/m}$. La velocidad del electrón es paralela al eje OY y de valor $\vec v = 1000\,\vec\jmath\ \text{m/s}$.

a) Calcule la fuerza eléctrica sobre el electrón. Exprésela vectorialmente o indique su módulo, dirección y sentido.

b) La fuerza eléctrica sobre el electrón puede anularse mediante la fuerza producida por un campo magnético $\vec B$ uniforme en esa región del espacio. Determine la expresión vectorial de este campo $\vec B$, o bien indique su módulo, dirección y sentido. Razone la respuesta.

$\textbf{a) Calcule la fuerza eléctrica sobre el electrón.}$










La fuerza que un campo eléctrico ejerce sobre una carga es:

$\vec F_E=q\,\vec E$

y como el electrón tiene carga NEGATIVA, la fuerza tiene sentido contrario al campo.





$\vec F_E=\left(-1{,}6\cdot 10^{-19}\right)\cdot 1000\,\vec\imath$

$\vec F_E=-1{,}6\cdot 10^{-16}\,\vec\imath\ \text{N}$

La fuerza eléctrica vale $1{,}6\cdot 10^{-16}\ \text{N}$, tiene la dirección del eje OX y el sentido NEGATIVO, es decir, contrario al campo.

$\textbf{b) Determine la expresión vectorial de este campo } \boldsymbol{\vec B}\textbf{, o bien indique su módulo, dirección y sentido. Razone la respuesta.}$

Para que la fuerza total sea nula, la fuerza magnética tiene que ser la opuesta de la eléctrica:

$\vec F_B=-\vec F_E=+1{,}6\cdot 10^{-16}\,\vec\imath\ \text{N}$

La fuerza magnética es $\vec F_B=q\,(\vec v\times\vec B)$. Como la velocidad va según $+\vec\jmath$ y la fuerza ha de ir según $\vec\imath$, el campo tiene que ser perpendicular a los dos, es decir, según el eje Z. Se escribe $\vec B=B_z\,\vec k$ y se impone la condición, recordando que $\vec\jmath\times\vec k=\vec\imath$:

$\vec F_B=q\,(v\,\vec\jmath)\times(B_z\,\vec k)=q\,v\,B_z\,\vec\imath=-|q|\,v\,B_z\,\vec\imath$

Para que esa fuerza vaya en el sentido $+\vec\imath$ hace falta que $B_z<0$. Igualando módulos:

$|q|\,v\,|B_z|=|q|\,E\Rightarrow |B_z|=\dfrac{E}{v}=\dfrac{1000}{1000}$

$\vec B=-1\,\vec k\ \text{T}$

El campo magnético vale $1\ \text{T}$, tiene la dirección del eje OZ y el sentido NEGATIVO. Obsérvese que la condición $v=E/B$ no depende del signo ni del valor de la carga: es el principio del selector de velocidades, que deja pasar sin desviarse solo a las partículas con esa rapidez.