Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Dos masas puntuales $m_{A} = 8\ \text{kg}$ y $m_{B} = 15\ \text{kg}$ se encuentran a una distancia fija $D = 50\ \text{cm}$. Una tercera partícula de masa $m = 5\ \text{kg}$ se abandona inicialmente en reposo en un punto del segmento que conecta $m_{A}$ y $m_{B}$ a una distancia $d = 20\ \text{cm}$ de $m_{A}$. Suponiendo que estas tres masas están completamente aisladas del resto del universo, calcule:



a) La aceleración que adquiere la partícula de masa $m = 5\ \text{kg}$ en ese punto (módulo, dirección y sentido). Razone la respuesta.

b) La energía potencial gravitatoria de la masa $m = 5\ \text{kg}$ en ese punto.

Dato: constante de la gravitación universal $G = 6{,}7\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$

$\textbf{a) La aceleración que adquiere la partícula de masa } \boldsymbol{m = 5\ \text{kg}}\textbf{ en ese punto (módulo, dirección y sentido). Razone la respuesta.}$










La aceleración de una masa colocada en un punto es el propio campo gravitatorio allí, porque:

$\vec F=m\,\vec g=m\,\vec a\Rightarrow \vec a=\vec g$

y no depende de los 5 kg de la partícula. El punto está a 20 cm de $m_A$ y, por tanto, a 30 cm de $m_B$.





Los dos campos apuntan cada uno HACIA su masa, es decir, en sentidos opuestos:

$g_A=G\dfrac{m_A}{d_A^{2}}=\dfrac{6{,}7\cdot 10^{-11}\cdot 8}{0{,}20^{2}}=1{,}34\cdot 10^{-8}\ \text{N/kg}$

$g_B=G\dfrac{m_B}{d_B^{2}}=\dfrac{6{,}7\cdot 10^{-11}\cdot 15}{0{,}30^{2}}=1{,}12\cdot 10^{-8}\ \text{N/kg}$

Aquí está lo que hay que razonar: gana el campo de $m_A$ pese a ser la masa MENOR, porque está el doble de cerca y la distancia entra al cuadrado.

$a=g_A-g_B=1{,}34\cdot 10^{-8}-1{,}12\cdot 10^{-8}$

$a=2{,}23\cdot 10^{-9}\ \text{m/s}^{2}$

La aceleración vale $2{,}23\cdot 10^{-9}\ \text{m/s}^{2}$, tiene la dirección de la recta que une las dos masas y el sentido HACIA $m_A$.

$\textbf{b) La energía potencial gravitatoria de la masa } \boldsymbol{m = 5\ \text{kg}}\textbf{ en ese punto.}$

La energía potencial es un escalar y se suman directamente las dos contribuciones:

$E_p=-G\dfrac{m_A\,m}{d_A}-G\dfrac{m_B\,m}{d_B}=-G\,m\left(\dfrac{m_A}{d_A}+\dfrac{m_B}{d_B}\right)$

$E_p=-6{,}7\cdot 10^{-11}\cdot 5\left(\dfrac{8}{0{,}20}+\dfrac{15}{0{,}30}\right)=-3{,}35\cdot 10^{-10}\cdot 90$

$E_p=-3{,}02\cdot 10^{-8}\ \text{J}$

La energía potencial gravitatoria de la partícula en ese punto es de $-3{,}02\cdot 10^{-8}\ \text{J}$. Es negativa, como siempre en gravitación, y su valor absoluto es la energía que habría que aportarle para llevarla al infinito.