Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2021

Por métodos ópticos, se determina que la longitud de una nave espacial que pasa por las proximidades de la Tierra es de 100 m. En contacto radiofónico, los astronautas que viajan en la nave comunican que la longitud de su nave es de 120 m. Considerando Tierra y nave como sistemas de referencia inerciales, determine la velocidad (módulo) con que la nave se desplaza respecto de la Tierra.

Dato: velocidad de la luz en el vacío $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

$\textbf{Considerando Tierra y nave como sistemas de referencia inerciales, determine la velocidad (módulo) con que la nave se desplaza respecto de la Tierra.}$










Conviene identificar bien qué mide cada observador. Los astronautas están en reposo respecto de la nave, de modo que la longitud que ellos comunican es la longitud PROPIA:

$L_0=120\ \text{m}$

Desde la Tierra, la nave se mueve, y su longitud aparece CONTRAÍDA:

$L=100\ \text{m}$





Las dos están relacionadas por el factor de Lorentz:

$L=\dfrac{L_0}{\gamma}\Rightarrow \gamma=\dfrac{L_0}{L}=\dfrac{120}{100}=1{,}2$

Se despeja la velocidad de la definición del factor de Lorentz:

$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^{2}}}\Rightarrow \dfrac{v}{c}=\sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^{2}}}$

$\dfrac{v}{c}=\sqrt{1-\dfrac{1}{1{,}44}}=\sqrt{0{,}3056}=0{,}553$

$v=0{,}553\cdot 3\cdot 10^{8}=1{,}66\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

La nave se desplaza respecto de la Tierra a $1{,}66\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, es decir, al 55,3 % de la velocidad de la luz. Obsérvese que una contracción de solo el 17 % ya exige más de media velocidad de la luz: los efectos relativistas se notan muy tarde y luego crecen de golpe.