Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · La Rioja · 2021

La longitud de onda umbral de una lámina de plata para que se produzca efecto fotoeléctrico es $\lambda = 264\ \text{nm}$. Calcule:

a) El trabajo de extracción de electrones en dicha lámina de plata.

b) La velocidad con que se emiten los electrones tras ser irradiada dicha lámina con luz ultravioleta de longitud de onda $\lambda = 181\ \text{nm}$.

Datos: constante de Planck $h = 6{,}6\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; velocidad de la luz en el vacío $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$; masa del electrón $m = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$

$\textbf{a) El trabajo de extracción de electrones en dicha lámina de plata.}$

La longitud de onda umbral es la mayor capaz de arrancar electrones: la de un fotón cuya energía es exactamente el trabajo de extracción, sin energía cinética sobrante.

$W_0=h\,f_0=h\,\dfrac{c}{\lambda_0}$



$W_0=\dfrac{6{,}6\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{264\cdot 10^{-9}}$

$W_0=7{,}5\cdot 10^{-19}\ \text{J}$

El trabajo de extracción de la plata es de $7{,}5\cdot 10^{-19}\ \text{J}$, es decir, $4{,}69\ \text{eV}$.

$\textbf{b) La velocidad con que se emiten los electrones tras ser irradiada dicha lámina con luz ultravioleta de longitud de onda } \boldsymbol{\lambda = 181\ \text{nm}}\textbf{.}$

La luz de 181 nm tiene una longitud de onda menor que la umbral, de modo que sus fotones son más energéticos y sí arrancan electrones:

$E=h\,\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{6{,}6\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{181\cdot 10^{-9}}=1{,}09\cdot 10^{-18}\ \text{J}$

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía del fotón se reparte entre el trabajo de extracción y la energía cinética del electrón emitido:

$E_{c,\max}=E-W_0=1{,}09\cdot 10^{-18}-7{,}5\cdot 10^{-19}$

$E_{c,\max}=3{,}44\cdot 10^{-19}\ \text{J}$

Y de la energía cinética se despeja la velocidad:

$E_{c,\max}=\dfrac12\,m\,v^{2}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2\,E_{c,\max}}{m}}$

$v=\sqrt{\dfrac{2\cdot 3{,}44\cdot 10^{-19}}{9{,}1\cdot 10^{-31}}}=8{,}69\cdot 10^{5}\ \text{m/s}$

Los electrones se emiten con una velocidad máxima de $8{,}69\cdot 10^{5}\ \text{m/s}$. Es el 0,3 % de la velocidad de la luz, de modo que el tratamiento no relativista está plenamente justificado.