Ejercicio resuelto de Ondas · Física · La Rioja · 2021

Una onda armónica sinusoidal que se propaga en el sentido negativo del eje $x$ tiene una longitud de onda de 20 m, una amplitud de 4 m y una velocidad de propagación de 200 m/s. Halle:

a) La ecuación de dicha onda.

b) La velocidad transversal máxima alcanzada por los puntos de la onda.

c) La aceleración transversal máxima alcanzada por los puntos de la onda.

$\textbf{a) La ecuación de dicha onda.}$

Se calculan primero los tres parámetros de la onda a partir de los datos:

$k=\dfrac{2\pi}{\lambda}=\dfrac{2\pi}{20}=0{,}314\ \text{rad/m}$

$\omega=v\,k=200\cdot 0{,}314=62{,}8\ \text{rad/s}$

de donde la frecuencia es $f=\omega/2\pi=10\ \text{Hz}$ y el periodo $T=0{,}1\ \text{s}$.



La onda se propaga en el sentido NEGATIVO del eje X, de modo que los dos términos de la fase llevan el MISMO signo. Tomando la fase inicial nula, que el enunciado no fija:

$y(x,t)=4\,\text{sen}\left(62{,}8\,t+0{,}314\,x\right)\ \text{m}$

o, dejando los factores en función de $\pi$:

$y(x,t)=4\,\text{sen}\left(20\pi\,t+\dfrac{\pi}{10}\,x\right)\ \text{m}$

con $x$ en metros y $t$ en segundos.

$\textbf{b) La velocidad transversal máxima alcanzada por los puntos de la onda.}$

Cada punto describe un movimiento armónico simple perpendicular a la propagación. Derivando la elongación respecto del tiempo:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=A\,\omega\cos\left(\omega t+k\,x\right)$

$v_{y,\max}=A\,\omega=4\cdot 62{,}8$

$v_{y,\max}=251\ \text{m/s}$

$\textbf{c) La aceleración transversal máxima alcanzada por los puntos de la onda.}$

Derivando una segunda vez:

$a_y=\dfrac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=-A\,\omega^{2}\,\text{sen}\left(\omega t+k\,x\right)=-\omega^{2}\,y$

$a_{y,\max}=A\,\omega^{2}=4\cdot 62{,}8^{2}$

$a_{y,\max}=1{,}58\cdot 10^{4}\ \text{m/s}^{2}$

La velocidad transversal máxima es de $251\ \text{m/s}$ y se alcanza al pasar por la posición de equilibrio; la aceleración máxima es de $1{,}58\cdot 10^{4}\ \text{m/s}^{2}$ y se alcanza en las crestas y los valles. Conviene no confundir la velocidad transversal, que oscila, con la de propagación, que es constante y vale 200 m/s.