Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2021

Según indica la figura, un haz de luz monocromática de frecuencia $f = 5\cdot 10^{14}\ \text{Hz}$ incide desde el aire sobre un vidrio de índice de refracción $n = 1{,}52$ y anchura $d = 10\ \text{cm}$. Calcule:



a) La longitud de onda de la luz incidente en el aire y en el vidrio.

b) El ángulo que forma el haz de luz con la horizontal cuando atraviesa la interfase vidrio-aire y entra de nuevo en el aire por el punto P.

c) La altura $h$ del punto P en el que incide el rayo refractado en el vidrio cuando alcanza la interfase vidrio-aire.

Dato: velocidad de la luz en el vacío $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

$\textbf{a) La longitud de onda de la luz incidente en el aire y en el vidrio.}$

En el aire la luz viaja prácticamente a la velocidad que tiene en el vacío:

$\lambda_a=\dfrac{c}{f}=\dfrac{3\cdot 10^{8}}{5\cdot 10^{14}}=6\cdot 10^{-7}\ \text{m}=600\ \text{nm}$

Dentro del vidrio la velocidad se reduce en un factor igual al índice de refracción, y con ella la longitud de onda; la frecuencia, en cambio, no cambia:

$v=\dfrac{c}{n}=\dfrac{3\cdot 10^{8}}{1{,}52}=1{,}97\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

$\lambda_v=\dfrac{\lambda_a}{n}=\dfrac{600}{1{,}52}=395\ \text{nm}$

En el aire la longitud de onda es de 600 nm y en el vidrio, de 395 nm.

$\textbf{b) El ángulo que forma el haz de luz con la horizontal cuando atraviesa la interfase vidrio-aire y entra de nuevo en el aire por el punto P.}$










Las dos caras del vidrio son planas y PARALELAS, de modo que el rayo se refracta dos veces en sentidos contrarios y sale con la misma inclinación con la que entró, solo desplazado lateralmente.

Formalmente, aplicando Snell en las dos caras:

$n_a\,\text{sen}\,\hat\imath=n\,\text{sen}\,\hat r=n_a\,\text{sen}\,\hat\imath\,'$





luego $\hat\imath\,'=\hat\imath$. El haz sale de nuevo formando $60^\circ$ con la horizontal.

$\textbf{c) Calcule la altura } \boldsymbol{h}\textbf{ del punto P en el que incide el rayo refractado en el vidrio cuando alcanza la interfase vidrio-aire.}$

Aquí está la trampa del problema. Las caras del vidrio son VERTICALES, así que su normal es HORIZONTAL, y el ángulo que da el enunciado está medido respecto de la horizontal. El ángulo de incidencia, que es el que entra en la ley de Snell, es el complementario:

$\theta_1=90^\circ-60^\circ=30^\circ$

$n_a\,\text{sen}\,30^\circ=n\,\text{sen}\,\theta_2\Rightarrow \text{sen}\,\theta_2=\dfrac{0{,}5}{1{,}52}=0{,}329$

$\theta_2=19{,}2^\circ$

Dentro del vidrio el rayo avanza formando $19{,}2^\circ$ con la horizontal, de modo que al recorrer los 10 cm de anchura sube:

$h=d\,\tan\theta_2=0{,}10\cdot\tan 19{,}2^\circ$

$h=3{,}48\cdot 10^{-2}\ \text{m}=3{,}48\ \text{cm}$

El punto P está $3{,}48\ \text{cm}$ por encima del punto de entrada. Si se hubiera tomado por descuido el ángulo de incidencia igual a $60^\circ$, la altura habría salido más del doble.