Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · La Rioja · 2021

Tres cargas puntuales están fijas en el plano $x$-$y$ según indica la figura. En un cierto instante, a la carga negativa $-Q$ situada sobre el eje $x$, y que tiene masa $m$, se le suministra una velocidad $v_{0}$. Calcule el valor mínimo de dicha velocidad $v_{0}$ para que la carga negativa $-Q$ se aleje indefinidamente de las dos cargas positivas.



Dé las respuestas en función de $Q$, $m$, $d$ y $k$, siendo $k$ la constante de Coulomb.

$\textbf{Calcule el valor mínimo de dicha velocidad } \boldsymbol{v_{0}}\textbf{ para que la carga negativa } \boldsymbol{-Q}\textbf{ se aleje indefinidamente de las dos cargas positivas.}$










De la figura: las dos cargas positivas están en $(0,\,d)$ y $(0,\,-d)$, y la negativa en $(d,\,0)$. Su distancia a cada una de las positivas es la diagonal del cuadrado:

$r=\sqrt{d^{2}+d^{2}}=\sqrt2\,d$

La carga negativa es ATRAÍDA por las dos: está ligada al sistema.





Su energía potencial en esa posición es la suma de las dos parejas en las que interviene:

$E_p=2\cdot k\dfrac{(+Q)(-Q)}{\sqrt2\,d}=-\dfrac{2\,k\,Q^{2}}{\sqrt2\,d}=-\dfrac{\sqrt2\,k\,Q^{2}}{d}$

Alejarse indefinidamente significa llegar al infinito, donde la energía potencial es nula. La fuerza eléctrica es conservativa, así que se conserva la energía mecánica, y la velocidad mínima es la que hace que llegue allí justo con velocidad nula:

$\dfrac12\,m\,v_0^{2}+E_p=0+0$

$\dfrac12\,m\,v_0^{2}=\dfrac{\sqrt2\,k\,Q^{2}}{d}$

$v_0=\sqrt{\dfrac{2\sqrt2\,k\,Q^{2}}{m\,d}}=Q\sqrt{\dfrac{2\sqrt2\,k}{m\,d}}$

Numéricamente el factor vale $\sqrt{2\sqrt2}=1{,}68$, de modo que el resultado se puede escribir también así:

$v_0\simeq 1{,}68\,Q\sqrt{\dfrac{k}{m\,d}}$

La velocidad mínima es $v_0=Q\sqrt{\dfrac{2\sqrt2\,k}{m\,d}}$. Es el análogo eléctrico de la velocidad de escape: lo que decide no es la fuerza que actúa en ese instante sino toda la energía que ata la carga al sistema.