Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2022

Calcule a qué velocidad debe viajar una nave espacial que se dirige a Sirio (estrella que se encuentra a unos ocho años luz de la Tierra) para que la distancia a la estrella, medida por los tripulantes de la nave, se reduzca en una décima parte.

Dato: velocidad de la luz en el vacío $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

$\textbf{Calcule a qué velocidad debe viajar una nave espacial que se dirige a Sirio para que la distancia a la estrella, medida por los tripulantes de la nave, se reduzca en una décima parte.}$










La distancia de 8 años-luz es la que mide un observador en reposo respecto de la Tierra y de Sirio: es la longitud PROPIA.

Para los tripulantes, que se mueven respecto de ese sistema, la distancia aparece contraída:

$L=\dfrac{L_0}{\gamma}$





Que se reduzca en una décima parte significa que pasa a valer el 90 % de la propia:

$L=0{,}9\,L_0=0{,}9\cdot 8=7{,}2\ \text{años-luz}$

$\gamma=\dfrac{L_0}{L}=\dfrac{1}{0{,}9}=1{,}111$

Se despeja la velocidad de la definición del factor de Lorentz:

$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^{2}}}\Rightarrow \dfrac{v}{c}=\sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^{2}}}=\sqrt{1-0{,}81}$

$\dfrac{v}{c}=\sqrt{0{,}19}=0{,}436$

$v=0{,}436\cdot 3\cdot 10^{8}=1{,}31\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

La nave debe viajar a $1{,}31\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, es decir, al 43,6 % de la velocidad de la luz. Conviene señalar que si el enunciado se leyera como que la distancia se reduce A la décima parte —0,8 años-luz en vez de 7,2— el factor de Lorentz sería 10 y haría falta $v=0{,}995\,c$: la diferencia entre las dos lecturas es enorme, y es la contracción de longitudes la que la amplifica.