Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2022

Una lente divergente produce una imagen $y'$ que es 4 veces menor que el tamaño $y$ del objeto cuando la separación entre la imagen y el objeto es 54 cm.



a) Calcule las posiciones $s$ y $s'$ del objeto y de la imagen, respectivamente.

b) Calcule la distancia focal $f$ de la lente.

Se trabaja con el criterio de signos habitual (DIN): la luz viaja de izquierda a derecha, el origen está en el centro óptico y las distancias medidas hacia la izquierda son negativas.

$\textbf{a) Calcule las posiciones } \boldsymbol{s}\textbf{ y } \boldsymbol{s'}\textbf{ del objeto y de la imagen, respectivamente.}$

Una lente divergente da siempre, de un objeto real, una imagen VIRTUAL, DERECHA y MENOR, situada del mismo lado que el objeto. El aumento lateral es, por tanto, positivo:

$\beta=\dfrac{y'}{y}=+\dfrac14=\dfrac{s'}{s}\Rightarrow s'=\dfrac{s}{4}$

Las dos posiciones son negativas, y la imagen está más cerca de la lente que el objeto. Su separación es, según la figura:

$|s|-|s'|=54\ \text{cm}$

$|s|-\dfrac{|s|}{4}=54\Rightarrow \dfrac{3\,|s|}{4}=54$

$|s|=72\ \text{cm}\Rightarrow s=-72\ \text{cm}$

$s'=\dfrac{-72}{4}=-18\ \text{cm}$

El objeto está a 72 cm a la izquierda de la lente y la imagen a 18 cm, también a la izquierda: las separan los 54 cm del enunciado.

$\textbf{b) Calcule la distancia focal } \boldsymbol{f}\textbf{ de la lente.}$

Se aplica la ecuación de las lentes delgadas:

$\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{f'}\Rightarrow \dfrac{1}{-18}-\dfrac{1}{-72}=\dfrac{1}{f'}$

$\dfrac{-4+1}{72}=-\dfrac{3}{72}=-\dfrac{1}{24}$

$f'=-24\ \text{cm}$

La distancia focal imagen de la lente es de $-24\ \text{cm}$. El signo negativo confirma que la lente es divergente, y le corresponde una potencia de $-4{,}17\ \text{dioptrías}$.