Ejercicio resuelto de Ondas · Física · La Rioja · 2022

El terremoto de Haití de 2010 provocó ondas mecánicas transversales que se propagaban por la superficie y cuyo desplazamiento vertical se puede modelizar por la expresión

$y(x,t) = A\,\text{sen}(12{,}6\,t - 4{,}3\,x),$

donde $x$ es la distancia en kilómetros desde el epicentro del terremoto y $t$ el tiempo en segundos.

a) Determine la longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación de dichas ondas.

b) Los sismógrafos midieron una aceleración máxima de $0{,}2g$ (donde $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ es la aceleración de la gravedad). Determine el valor de la amplitud $A$ en milímetros.

Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica:

$y(x,t)=A\,\text{sen}\left(\omega t-k\,x\right)$

e identificando términos, con $x$ en kilómetros y $t$ en segundos:

$\omega=12{,}6\ \text{rad/s}\qquad k=4{,}3\ \text{rad/km}$

$\textbf{a) Determine la longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación de dichas ondas.}$

$f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{12{,}6}{2\pi}=2{,}01\ \text{Hz}$

$\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{4{,}3}=1{,}46\ \text{km}$



$v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{12{,}6}{4{,}3}=2{,}93\ \text{km/s}$

La frecuencia es de $2{,}01\ \text{Hz}$, la longitud de onda de $1{,}46\ \text{km}$ y la velocidad de propagación de $2{,}93\ \text{km/s}$, es decir, $2{,}93\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$, del orden de la velocidad de las ondas sísmicas superficiales en la corteza terrestre.

$\textbf{b) Determine el valor de la amplitud } \boldsymbol{A}\textbf{ en milímetros.}$

Cada punto de la superficie describe un movimiento armónico simple en la dirección vertical. Derivando dos veces la elongación respecto del tiempo:

$a_y=\dfrac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=-A\,\omega^{2}\,\text{sen}\left(\omega t-kx\right)$

de modo que el valor máximo de la aceleración es:

$a_{\max}=A\,\omega^{2}$

El dato de los sismógrafos es esa aceleración máxima:

$a_{\max}=0{,}2\,g=0{,}2\cdot 9{,}8=1{,}96\ \text{m/s}^{2}$

Despejando la amplitud, con la frecuencia angular en unidades del SI:

$A=\dfrac{a_{\max}}{\omega^{2}}=\dfrac{1{,}96}{12{,}6^{2}}=1{,}23\cdot 10^{-2}\ \text{m}$

$A=12{,}3\ \text{mm}$

La amplitud de la onda sísmica es de $12{,}3\ \text{mm}$. Sorprende lo pequeña que es en comparación con sus efectos, pero lo que destruye no es el desplazamiento sino la aceleración: 1,96 m/s² es la quinta parte de la gravedad, aplicada varias veces por segundo.