Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2022

Un rayo de luz monocromático de frecuencia $f = 6\cdot 10^{14}\ \text{Hz}$ incide con un ángulo $\theta_{1} = 35^{\circ}$ sobre la superficie de separación de dos medios con diferentes índices de refracción $n_{1}$ y $n_{2}$. Sabiendo que dicho rayo viaja por el primer medio a una velocidad de $v_{1} = 2{,}4\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, y que su longitud de onda en el segundo medio es de $\lambda_{2} = 5\cdot 10^{-7}\ \text{m}$, calcule:



a) El ángulo de refracción $\theta_{2}$.

b) El ángulo límite de incidencia $\theta_{1}$ a partir del cual se producirá la reflexión total.

Dato: velocidad de la luz en el vacío $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

$\textbf{a) El ángulo de refracción } \boldsymbol{\theta_{2}}\textbf{.}$

Antes de aplicar la ley de Snell hay que obtener los dos índices, que el enunciado da de forma indirecta.

Del primer medio se da la velocidad:

$n_1=\dfrac{c}{v_1}=\dfrac{3\cdot 10^{8}}{2{,}4\cdot 10^{8}}=1{,}25$



Del segundo se da la longitud de onda. Como la frecuencia no cambia al pasar de un medio a otro, la velocidad en el segundo medio es:

$v_2=\lambda_2\,f=5\cdot 10^{-7}\cdot 6\cdot 10^{14}=3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

$n_2=\dfrac{c}{v_2}=\dfrac{3\cdot 10^{8}}{3\cdot 10^{8}}=1$

Es decir, el segundo medio es el vacío (o el aire). Ahora sí, la ley de Snell:

$n_1\,\text{sen}\,\theta_1=n_2\,\text{sen}\,\theta_2$

$\text{sen}\,\theta_2=\dfrac{1{,}25\cdot\text{sen}\,35^\circ}{1}=1{,}25\cdot 0{,}5736=0{,}717$

$\theta_2=45{,}8^\circ$

El rayo se refracta formando $45{,}8^\circ$ con la normal. Al pasar al medio menos refringente el rayo se ALEJA de la normal, como tenía que ser.

$\textbf{b) El ángulo límite de incidencia } \boldsymbol{\theta_{1}}\textbf{ a partir del cual se producirá la reflexión total.}$

La reflexión total puede darse porque la luz va del medio más refringente al menos refringente. El ángulo límite es aquel cuyo rayo refractado saldría rasante, con $\theta_2=90^\circ$:

$n_1\,\text{sen}\,\theta_L=n_2\,\text{sen}\,90^\circ\Rightarrow \text{sen}\,\theta_L=\dfrac{n_2}{n_1}=\dfrac{1}{1{,}25}=0{,}8$

$\theta_L=53{,}1^\circ$

A partir de $53{,}1^\circ$ de incidencia el rayo no pasa al segundo medio: se refleja totalmente. Con los $35^\circ$ del apartado anterior aún estamos por debajo, y por eso el rayo sí se refracta.