Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · La Rioja · 2022

En los vértices de un cuadrado de lado $L$ hay colocadas dos cargas positivas $q$ y dos cargas negativas $-q$ tal y como se indica en la figura. Una quinta carga negativa $-q$ está situada en el centro del cuadrado.



a) Calcule el vector campo eléctrico en el centro del cuadrado.

b) Calcule la fuerza que las cuatro cargas situadas en las esquinas del cuadrado ejercen sobre la carga situada en el centro del cuadrado.

Exprese los resultados en función de $q$, $L$ y la constante de Coulomb $k$.

$\textbf{a) Calcule el vector campo eléctrico en el centro del cuadrado.}$










Las cuatro cargas están a la misma distancia del centro, que es la mitad de la diagonal:

$r=\dfrac{L\sqrt2}{2}\Rightarrow r^{2}=\dfrac{L^{2}}{2}$

de modo que los cuatro campos tienen el mismo módulo:

$E_i=k\dfrac{q}{r^{2}}=\dfrac{2\,k\,q}{L^{2}}$





Lo que cambia es el sentido: el campo se aleja de las dos cargas positivas, que están a la derecha, y apunta hacia las dos negativas, que están a la izquierda. Las cuatro contribuciones tienen, por tanto, componente hacia la izquierda, y sus componentes verticales se cancelan dos a dos.

Cada una forma $45^\circ$ con la horizontal, así que la proyección de cada una vale $\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}$:

$E=4\,E_i\cos 45^\circ=4\cdot\dfrac{2\,k\,q}{L^{2}}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}$

$\vec E=-\dfrac{4\sqrt2\,k\,q}{L^{2}}\,\vec\imath\simeq -5{,}66\,\dfrac{k\,q}{L^{2}}\,\vec\imath$

El campo en el centro vale $\dfrac{4\sqrt2\,k\,q}{L^{2}}$ y está dirigido horizontalmente, de las cargas positivas hacia las negativas.

$\textbf{b) Calcule la fuerza que las cuatro cargas situadas en las esquinas del cuadrado ejercen sobre la carga situada en el centro del cuadrado.}$

La fuerza sobre la quinta carga, que está en el centro, es:

$\vec F=(-q)\,\vec E$

y como esa carga es NEGATIVA, la fuerza tiene sentido contrario al campo:

$\vec F=(-q)\left(-\dfrac{4\sqrt2\,k\,q}{L^{2}}\,\vec\imath\right)$

$\vec F=+\dfrac{4\sqrt2\,k\,q^{2}}{L^{2}}\,\vec\imath\simeq 5{,}66\,\dfrac{k\,q^{2}}{L^{2}}\,\vec\imath$

La fuerza vale $\dfrac{4\sqrt2\,k\,q^{2}}{L^{2}}$ y está dirigida horizontalmente HACIA las cargas positivas: la carga negativa del centro es atraída por las dos positivas y repelida por las dos negativas, y las dos cosas empujan en el mismo sentido.