Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · La Rioja · 2022

En los vértices de un cuadrado de $10^{-9}\ \text{m}$ de lado hay colocados dos electrones y dos protones tal y como se indica en la figura. Calcule el trabajo necesario para trasladar uno de los dos protones al centro del cuadrado.



Datos: carga del electrón $e^{-} = -1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$; carga del protón $e^{+} = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$; constante de Coulomb $k = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{C}^{-2}$

$\textbf{Calcule el trabajo necesario para trasladar uno de los dos protones al centro del cuadrado.}$










El trabajo que debe realizar un agente exterior es la variación de la energía potencial del sistema:

$W_{\text{ext}}=\Delta E_p=E_p^{\text{final}}-E_p^{\text{inicial}}$

y la energía potencial de una distribución se calcula sumando un término por cada PAREJA de cargas.





Aquí está el atajo del problema: al mover un solo protón, las tres parejas que NO lo incluyen no cambian y se cancelan en la resta. Basta con seguir las tres parejas en las que interviene el protón que se mueve.

De la figura se lee que los dos electrones están en los vértices de la izquierda y los dos protones en los de la derecha. Se mueve el protón superior derecho. En su posición inicial tiene a un electrón a distancia $L$ (el de su izquierda), al otro protón a distancia $L$ (el de abajo) y al segundo electrón en la diagonal, a $L\sqrt2$:

$E_p^{\text{inicial}}=\dfrac{k\,e^{2}}{L}\left(-1+1-\dfrac{1}{\sqrt2}\right)=-\dfrac{k\,e^{2}}{\sqrt2\,L}$

En el centro del cuadrado está a la misma distancia de los cuatro vértices, que es la mitad de la diagonal:

$r=\dfrac{L\sqrt2}{2}=\dfrac{L}{\sqrt2}$

$E_p^{\text{final}}=\dfrac{k\,e^{2}}{L/\sqrt2}\left(-1-1+1\right)=-\dfrac{\sqrt2\,k\,e^{2}}{L}$

Restando:

$W_{\text{ext}}=-\dfrac{\sqrt2\,k\,e^{2}}{L}+\dfrac{k\,e^{2}}{\sqrt2\,L}=-\dfrac{k\,e^{2}}{\sqrt2\,L}$

Se sustituyen los datos:

$\dfrac{k\,e^{2}}{L}=\dfrac{9\cdot 10^{9}\cdot\left(1{,}6\cdot 10^{-19}\right)^{2}}{10^{-9}}=2{,}30\cdot 10^{-19}\ \text{J}$

$W_{\text{ext}}=-\dfrac{2{,}30\cdot 10^{-19}}{\sqrt2}=-1{,}63\cdot 10^{-19}\ \text{J}$

El trabajo exterior necesario es de $-1{,}63\cdot 10^{-19}\ \text{J}$, es decir, $-1{,}02\ \text{eV}$. El signo NEGATIVO tiene un significado claro: no hay que empujar el protón, sino frenarlo. El propio campo lo lleva hacia el centro, porque allí se acerca a los dos electrones que lo atraen y se aleja del protón que lo repele, y el balance es favorable. Si se soltara sin más, llegaría al centro con esa energía convertida en cinética.