Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

El satélite Hispasat-4, de 3000 kg de masa, está en órbita geoestacionaria circular (periodo orbital de 24 h) alrededor de la Tierra.

a) Calcule la altura sobre la superficie de la Tierra a la que orbita ese satélite.

b) Calcule el módulo de la velocidad lineal con que orbita ese satélite.

c) Calcule la energía que es necesario suministrar al satélite para colocarlo en dicha órbita.

Datos: radio de la Tierra $R_{T} = 6{,}4\cdot 10^{3}\ \text{km}$; masa de la Tierra $M_{T} = 6\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; constante de la gravitación universal $G = 6{,}7\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$

$\textbf{a) Calcule la altura sobre la superficie de la Tierra a la que orbita ese satélite.}$

En la órbita circular la fuerza gravitatoria hace de centrípeta, y escribiendo la aceleración centrípeta en función del periodo resulta la tercera ley de Kepler:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^{2}}=m\,\dfrac{4\pi^{2}r}{T^{2}}\Rightarrow r=\sqrt[3]{\dfrac{G\,M_T\,T^{2}}{4\pi^{2}}}$

Ser geoestacionario significa dar una vuelta en el mismo tiempo que la Tierra en girar sobre sí misma, es decir, $T=24\ \text{h}=86\,400\ \text{s}$.

$r=\sqrt[3]{\dfrac{6{,}7\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 10^{24}\cdot 86\,400^{2}}{4\pi^{2}}}=4{,}24\cdot 10^{7}\ \text{m}$

$h=r-R_T=4{,}24\cdot 10^{7}-6{,}4\cdot 10^{6}=3{,}60\cdot 10^{7}\ \text{m}$

El satélite orbita a $3{,}60\cdot 10^{7}\ \text{m}$ de altura, unos 36 000 km, que es la altura característica de todos los satélites geoestacionarios.



$\textbf{b) Calcule el módulo de la velocidad lineal con que orbita ese satélite.}$

$v=\dfrac{2\pi\,r}{T}=\dfrac{2\pi\cdot 4{,}24\cdot 10^{7}}{86\,400}$

$v=3{,}08\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$

La velocidad orbital es de $3{,}08\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$, unos 3,1 km/s: bastante menor que la de un satélite en órbita baja, porque está mucho más lejos.

$\textbf{c) Calcule la energía que es necesario suministrar al satélite para colocarlo en dicha órbita.}$

La energía que hay que aportar es la diferencia entre la energía mecánica que tiene en la órbita y la que tenía en la superficie, donde se supone en reposo:

$\Delta E=E_{\text{órbita}}-E_{\text{superficie}}$

En la órbita, la energía mecánica de un satélite circular vale:

$E_{\text{órbita}}=-\dfrac{G\,M_T\,m}{2\,r}=-\dfrac{6{,}7\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 10^{24}\cdot 3000}{2\cdot 4{,}24\cdot 10^{7}}=-1{,}42\cdot 10^{10}\ \text{J}$

En la superficie, en reposo, toda la energía es potencial:

$E_{\text{superficie}}=-\dfrac{G\,M_T\,m}{R_T}=-\dfrac{6{,}7\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 10^{24}\cdot 3000}{6{,}4\cdot 10^{6}}=-1{,}88\cdot 10^{11}\ \text{J}$

$\Delta E=-1{,}42\cdot 10^{10}+1{,}88\cdot 10^{11}$

$\Delta E=1{,}74\cdot 10^{11}\ \text{J}$

Hay que suministrarle $1{,}74\cdot 10^{11}\ \text{J}$. Se ha despreciado la energía cinética que el satélite ya tiene por la rotación terrestre, que es la razón por la que los lanzamientos se hacen hacia el este y desde latitudes bajas.