Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · La Rioja · 2022

Para el caso del espectro de emisión del hidrógeno, calcule:

a) La longitud de onda de la segunda raya de la serie espectral de Lyman.

b) La energía de los fotones correspondientes a dicha emisión.

Datos: constante de Rydberg $R_{H} = 1{,}09\cdot 10^{7}\ \text{m}^{-1}$; constante de Planck $h \approx 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$; velocidad de la luz en el vacío $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

$\textbf{a) La longitud de onda de la segunda raya de la serie espectral de Lyman.}$










Las rayas del espectro del hidrógeno se agrupan en series según el nivel al que CAE el electrón. La serie de Lyman es la que termina en el nivel fundamental:

$n_f=1$

La primera raya de la serie es el salto desde $n=2$, la segunda desde $n=3$, y así sucesivamente.





Se aplica la fórmula de Rydberg con $n_f=1$ y $n_i=3$:

$\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{n_f^{2}}-\dfrac{1}{n_i^{2}}\right)=1{,}09\cdot 10^{7}\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{9}\right)$

$\dfrac{1}{\lambda}=1{,}09\cdot 10^{7}\cdot\dfrac{8}{9}=9{,}69\cdot 10^{6}\ \text{m}^{-1}$

$\lambda=1{,}03\cdot 10^{-7}\ \text{m}=103\ \text{nm}$

La segunda raya de la serie de Lyman tiene una longitud de onda de 103 nm, en el ultravioleta lejano. Toda la serie de Lyman cae fuera del visible, precisamente porque los saltos hasta el nivel fundamental son los más energéticos.

$\textbf{b) La energía de los fotones correspondientes a dicha emisión.}$

Se aplica la relación de Planck entre la energía del fotón y su longitud de onda:

$E=h\,f=h\,\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{1{,}03\cdot 10^{-7}}$

$E=1{,}93\cdot 10^{-18}\ \text{J}$

$E=\dfrac{1{,}93\cdot 10^{-18}}{1{,}6\cdot 10^{-19}}=12{,}0\ \text{eV}$

Los fotones de esa emisión tienen una energía de $1{,}93\cdot 10^{-18}\ \text{J}$, es decir, $12{,}0\ \text{eV}$. Es coherente con el modelo de Bohr: la diferencia entre los niveles $n=3$ y $n=1$ del hidrógeno vale $13{,}6\left(1-\tfrac19\right)=12{,}1\ \text{eV}$.