Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2022

Se desea proyectar sobre una pantalla la imagen de una diapositiva empleando una lente delgada convergente de focal $f' = 4\ \text{cm}$ de forma que la imagen se proyecte invertida y con un tamaño 10 veces mayor que el de la diapositiva.

a) Calcule las distancias diapositiva-lente y lente-pantalla.

b) Dibuje un trazado de rayos que explique gráficamente el proceso de formación de la imagen.

Se trabaja con el criterio de signos habitual (DIN): la luz viaja de izquierda a derecha, el origen está en el centro óptico y las distancias medidas hacia la izquierda son negativas.

$\textbf{a) Calcule las distancias diapositiva-lente y lente-pantalla.}$

La imagen se recoge en una pantalla, luego es real, y el enunciado precisa que sale invertida y diez veces mayor. El aumento lateral es, por tanto:

$\beta=\dfrac{y'}{y}=\dfrac{s'}{s}=-10\Rightarrow s'=-10\,s$

Se lleva esta relación a la ecuación de las lentes delgadas:

$\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{f'}$

$\dfrac{1}{-10\,s}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow \dfrac{-1-10}{10\,s}=\dfrac{1}{4}$

$-\dfrac{11}{10\,s}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow s=-4{,}4\ \text{cm}$

$s'=-10\cdot(-4{,}4)=44\ \text{cm}$

La diapositiva hay que colocarla a 4,4 cm de la lente y la pantalla a 44 cm, al otro lado. Obsérvese que la diapositiva queda justo FUERA del foco, a solo 4 mm de él: es lo que hace falta para conseguir un aumento tan grande.

$\textbf{b) Dibuje un trazado de rayos que explique gráficamente el proceso de formación de la imagen.}$



Se han trazado los tres rayos principales desde el extremo del objeto: el paralelo al eje, que emerge por el foco imagen; el que pasa por el centro óptico, que no se desvía; y el que pasa por el foco objeto, que emerge paralelo al eje. Los tres se cortan realmente sobre la pantalla, en una imagen invertida y diez veces mayor. Esa es exactamente la geometría de un proyector: objeto muy cerca del foco y pantalla lejos.