Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2022

Sean dos medios A y B de índices de refracción $n_{A}$ y $n_{B}$, respectivamente. Un rayo de luz de frecuencia $6{,}04\cdot 10^{14}\ \text{Hz}$ incide desde el medio A hacia el medio B, verificándose que el ángulo límite para la reflexión total es $45^{\circ}$. Sabiendo que $n_{A} - n_{B} = 0{,}6$, determine:

a) Los índices de refracción $n_{A}$ y $n_{B}$ de ambos medios.

b) Las longitudes de onda del rayo de luz incidente en los medios A y B.

Dato: velocidad de la luz en el vacío $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

$\textbf{a) Los índices de refracción } \boldsymbol{n_{A}}\textbf{ y } \boldsymbol{n_{B}}\textbf{ de ambos medios.}$

El ángulo límite es aquel para el que el rayo refractado sale rasante a la superficie, es decir, con $90^\circ$. Aplicando la ley de Snell:

$n_A\,\text{sen}\,\theta_L=n_B\,\text{sen}\,90^\circ$

$\text{sen}\,45^\circ=\dfrac{n_B}{n_A}$



Esto ya dice que $n_A>n_B$, como tenía que ser para que exista reflexión total. Junto con el otro dato del enunciado se tiene un sistema de dos ecuaciones:

$n_B=n_A\,\dfrac{\sqrt2}{2}\qquad n_A-n_B=0{,}6$

Sustituyendo la primera en la segunda:

$n_A\left(1-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=0{,}6\Rightarrow n_A=\dfrac{0{,}6}{0{,}2929}$

$n_A=2{,}05\qquad n_B=2{,}05-0{,}6=1{,}45$

Los índices son $n_A=2{,}05$ y $n_B=1{,}45$. Se comprueba el resultado: $\arcsin(1{,}45/2{,}05)=45^\circ$.

$\textbf{b) Las longitudes de onda del rayo de luz incidente en los medios A y B.}$

La frecuencia es una característica del foco y no cambia de un medio a otro. Se calcula primero la longitud de onda en el vacío:

$\lambda_0=\dfrac{c}{f}=\dfrac{3\cdot 10^{8}}{6{,}04\cdot 10^{14}}=4{,}97\cdot 10^{-7}\ \text{m}$

En un medio de índice $n$ la velocidad se reduce en ese factor y la longitud de onda también:

$\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{c}{n\,f}=\dfrac{\lambda_0}{n}$

$\lambda_A=\dfrac{4{,}97\cdot 10^{-7}}{2{,}05}=2{,}42\cdot 10^{-7}\ \text{m}$

$\lambda_B=\dfrac{4{,}97\cdot 10^{-7}}{1{,}45}=3{,}43\cdot 10^{-7}\ \text{m}$

En el medio A la longitud de onda es de 242 nm y en el B, de 343 nm. La luz, que en el vacío sería visible (497 nm, verde), se acorta al entrar en los dos medios, y tanto más cuanto mayor es el índice.