Ejercicio resuelto de Ondas · Física · La Rioja · 2022

El valor del campo eléctrico asociado a una onda electromagnética que se propaga en un medio material en la dirección del eje $x$ viene expresado por:

$E(x,t) = 4\,\text{sen}(3{,}43\cdot 10^{15}\,t - 1{,}52\cdot 10^{7}\,x)\ \text{N/C},$

donde todas las magnitudes están expresadas en el SI. Calcule:

a) La frecuencia y la longitud de onda asociadas a la onda electromagnética.

b) La velocidad de propagación de la onda y el índice de refracción del medio por el cual se propaga.

Dato: velocidad de la luz en el vacío $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica que se propaga:

$E(x,t)=E_0\,\text{sen}\left(\omega t-k\,x\right)$

e identificando términos:

$E_0=4\ \text{N/C}\qquad \omega=3{,}43\cdot 10^{15}\ \text{rad/s}\qquad k=1{,}52\cdot 10^{7}\ \text{rad/m}$

$\textbf{a) La frecuencia y la longitud de onda asociadas a la onda electromagnética.}$

$f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{3{,}43\cdot 10^{15}}{2\pi}=5{,}46\cdot 10^{14}\ \text{Hz}$

$\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{1{,}52\cdot 10^{7}}=4{,}13\cdot 10^{-7}\ \text{m}$

La frecuencia es de $5{,}46\cdot 10^{14}\ \text{Hz}$ y la longitud de onda en ese medio, de 413 nm: es luz visible, en la zona del violeta.



$\textbf{b) La velocidad de propagación de la onda y el índice de refracción del medio por el cual se propaga.}$

La velocidad de propagación es el cociente entre la frecuencia angular y el número de onda:

$v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{3{,}43\cdot 10^{15}}{1{,}52\cdot 10^{7}}=2{,}26\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

Y el índice de refracción es, por definición, el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y en el medio:

$n=\dfrac{c}{v}=\dfrac{3\cdot 10^{8}}{2{,}26\cdot 10^{8}}$

$n=1{,}33$

La onda viaja a $2{,}26\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ y el índice de refracción del medio es 1,33, que es justamente el del agua. Conviene recordar que la frecuencia no cambia al pasar de un medio a otro: lo que cambian son la velocidad y la longitud de onda, y las dos en el mismo factor $n$.