Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Dos satélites de igual masa $m$ describen órbitas circulares de radios $R_{1} > R_{2}$ alrededor de un cierto planeta. Determine razonadamente cuál de los dos satélites tiene mayor energía mecánica.

$\textbf{Determine razonadamente cuál de los dos satélites tiene mayor energía mecánica.}$

Para un satélite en órbita circular, la fuerza gravitatoria es la única que actúa y hace de fuerza centrípeta:

$G\dfrac{M\,m}{R^{2}}=\dfrac{m\,v^{2}}{R}\Rightarrow \dfrac12\,m\,v^{2}=\dfrac{G\,M\,m}{2\,R}$

Sumando la energía cinética y la potencial se obtiene la energía mecánica, que solo depende del radio de la órbita:

$E=\dfrac{G\,M\,m}{2\,R}-\dfrac{G\,M\,m}{R}$

$E=-\dfrac{G\,M\,m}{2\,R}$

Aquí está la clave del razonamiento: la energía mecánica es NEGATIVA, como corresponde a un cuerpo ligado, y su valor absoluto es inversamente proporcional al radio.



Se comparan las dos, que tienen la misma masa y giran alrededor del mismo planeta:

$E_1-E_2=-\dfrac{G\,M\,m}{2\,R_1}+\dfrac{G\,M\,m}{2\,R_2}=\dfrac{G\,M\,m}{2}\left(\dfrac{1}{R_2}-\dfrac{1}{R_1}\right)$

Como $R_1>R_2$, se cumple $\dfrac{1}{R_2}>\dfrac{1}{R_1}$ y el paréntesis es positivo. Por tanto:

$E_1-E_2>0\Rightarrow E_1>E_2$

Tiene mayor energía mecánica el satélite que describe la órbita de MAYOR radio, es decir, el de radio $R_1$. Conviene no confundirse: ese satélite es el que se mueve MÁS DESPACIO, porque $v=\sqrt{G M/R}$ decrece con el radio; lo que gana en energía potencial supera con creces lo que pierde en cinética. Dicho de otro modo, subir de órbita cuesta energía.