Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Una nave espacial se encuentra describiendo una órbita circular alrededor de un cierto planeta esférico. La velocidad orbital de la nave es de 25000 km/h y tarda 5 horas en dar una vuelta completa alrededor del planeta.

a) Determine el radio de la órbita que describe la nave y la masa del planeta.

b) Si el radio del planeta es $R = 5900\ \text{km}$, calcule el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de dicho planeta.

Dato: constante de gravitación universal $G \approx 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$

$\textbf{a) Determine el radio de la órbita que describe la nave y la masa del planeta.}$










El movimiento es circular y uniforme, de modo que en un periodo la nave recorre la longitud entera de la órbita:

$v=\dfrac{2\pi\,r}{T}\Rightarrow r=\dfrac{v\,T}{2\pi}$

Se pasan los datos al Sistema Internacional:

$v=25\,000\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}=6944\ \text{m/s}\qquad T=5\ \text{h}=1{,}8\cdot 10^{4}\ \text{s}$





$r=\dfrac{6944\cdot 1{,}8\cdot 10^{4}}{2\pi}=1{,}99\cdot 10^{7}\ \text{m}$

Para la masa se iguala la fuerza gravitatoria a la centrípeta:

$G\dfrac{M\,m}{r^{2}}=\dfrac{m\,v^{2}}{r}\Rightarrow M=\dfrac{v^{2}\,r}{G}$

$M=\dfrac{6944^{2}\cdot 1{,}99\cdot 10^{7}}{6{,}67\cdot 10^{-11}}=1{,}44\cdot 10^{25}\ \text{kg}$

El radio de la órbita es de $1{,}99\cdot 10^{7}\ \text{m}$ y la masa del planeta, de $1{,}44\cdot 10^{25}\ \text{kg}$, algo más del doble de la masa de la Tierra.

$\textbf{b) Si el radio del planeta es } \boldsymbol{R = 5900\ \text{km}}\textbf{, calcule el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de dicho planeta.}$

La aceleración de la gravedad en la superficie es el módulo del campo gravitatorio a la distancia del radio:

$g=G\dfrac{M}{R^{2}}=\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}44\cdot 10^{25}}{\left(5{,}9\cdot 10^{6}\right)^{2}}$

$g=27{,}6\ \text{m/s}^{2}$

En la superficie del planeta la gravedad vale $27{,}6\ \text{m/s}^{2}$, casi tres veces la terrestre.