Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · La Rioja · 2023

En un experimento, al iluminar un metal con luz de frecuencia $2{,}5\cdot 10^{15}\ \text{Hz}$, se detecta que dicho metal emite electrones que pueden detenerse al aplicar un potencial de frenado de 7,2 V. Cuando se ilumina ese mismo metal con luz de longitud de onda en el vacío $1{,}78\cdot 10^{-7}\ \text{m}$, el potencial de frenado pasa a ser de 3,8 V.

a) Calcule el valor de la constante de Planck que proporciona ese experimento.

b) Calcule el trabajo de extracción del metal.

Datos: velocidad de la luz en el vacío $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$; valor absoluto de la carga del electrón $e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$

El enunciado da dos experiencias sobre el mismo metal. En las dos se cumple la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, con la energía cinética máxima medida por el potencial de frenado:

$h\,f=W_0+e\,V_0$

Conviene pasar la segunda medida a frecuencia, para que las dos ecuaciones tengan la misma forma:

$f_2=\dfrac{c}{\lambda_2}=\dfrac{3\cdot 10^{8}}{1{,}78\cdot 10^{-7}}=1{,}69\cdot 10^{15}\ \text{Hz}$

$\textbf{a) Calcule el valor de la constante de Planck que proporciona ese experimento.}$

Se plantea el sistema con los dos pares de datos:

$h\,f_1=W_0+e\,V_1\qquad h\,f_2=W_0+e\,V_2$

y se restan, con lo que desaparece el trabajo de extracción:

$h\left(f_1-f_2\right)=e\left(V_1-V_2\right)$



$h=\dfrac{e\left(V_1-V_2\right)}{f_1-f_2}=\dfrac{1{,}6\cdot 10^{-19}\left(7{,}2-3{,}8\right)}{2{,}5\cdot 10^{15}-1{,}69\cdot 10^{15}}$

$h=\dfrac{5{,}44\cdot 10^{-19}}{8{,}15\cdot 10^{14}}=6{,}68\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$

La constante de Planck que da el experimento es $6{,}68\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, con una desviación de apenas el 0,7 % respecto del valor aceptado, $6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

$\textbf{b) Calcule el trabajo de extracción del metal.}$

Se lleva la constante recién obtenida a cualquiera de las dos ecuaciones. Con la primera:

$W_0=h\,f_1-e\,V_1=6{,}68\cdot 10^{-34}\cdot 2{,}5\cdot 10^{15}-1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 7{,}2$

$W_0=1{,}67\cdot 10^{-18}-1{,}15\cdot 10^{-18}=5{,}18\cdot 10^{-19}\ \text{J}$

$W_0=3{,}23\ \text{eV}$

El trabajo de extracción del metal es de $5{,}18\cdot 10^{-19}\ \text{J}$, es decir, $3{,}23\ \text{eV}$. Se comprueba con la segunda medida, que ha de dar lo mismo.

Conviene notar el significado gráfico: si se representa $e\,V_0$ frente a la frecuencia, la ecuación de Einstein es la de una recta cuya pendiente es la constante de Planck y cuya ordenada en el origen es el trabajo de extracción cambiado de signo. Los dos datos del enunciado son dos puntos de esa recta.