Ejercicio resuelto de Ondas · Física · La Rioja · 2023

El campo eléctrico asociado a una onda electromagnética que se propaga en un cierto medio material viene dado por la ecuación

$E(x,t) = 4\,\text{sen}(3{,}43\cdot 10^{15}\,t - 1{,}52\cdot 10^{7}\,x)\ \text{N/C},$

donde todas las magnitudes están expresadas en unidades del SI.

a) Determine la frecuencia y la longitud de onda de esa onda.

b) Calcule la velocidad de propagación de la onda.

c) Calcule el índice de refracción del medio por el cual se propaga la onda.

d) ¿En qué sentido se propaga la onda?

Dato: velocidad de la luz en el vacío $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica que se propaga:

$E(x,t)=E_0\,\text{sen}\left(\omega t-k\,x\right)$

e identificando términos:

$E_0=4\ \text{N/C}\qquad \omega=3{,}43\cdot 10^{15}\ \text{rad/s}\qquad k=1{,}52\cdot 10^{7}\ \text{rad/m}$

$\textbf{a) Determine la frecuencia y la longitud de onda de esa onda.}$

$f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{3{,}43\cdot 10^{15}}{2\pi}=5{,}46\cdot 10^{14}\ \text{Hz}$

$\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{1{,}52\cdot 10^{7}}=4{,}13\cdot 10^{-7}\ \text{m}$

La frecuencia es de $5{,}46\cdot 10^{14}\ \text{Hz}$ y la longitud de onda en ese medio, de 413 nm: es luz visible, en la zona del violeta.

$\textbf{b) Calcule la velocidad de propagación de la onda.}$

$v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{3{,}43\cdot 10^{15}}{1{,}52\cdot 10^{7}}$

$v=2{,}26\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

La onda se propaga a $2{,}26\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, menos que en el vacío, como tiene que ser en un medio material.

$\textbf{c) Calcule el índice de refracción del medio por el cual se propaga la onda.}$

El índice de refracción es, por definición, el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y en el medio:

$n=\dfrac{c}{v}=\dfrac{3\cdot 10^{8}}{2{,}26\cdot 10^{8}}$

$n=1{,}33$

El índice de refracción del medio es 1,33, que es justamente el del agua.

$\textbf{d) ¿En qué sentido se propaga la onda?}$



Lo dice el signo relativo de los dos términos de la fase. Un punto de fase constante cumple:

$3{,}43\cdot 10^{15}\,t-1{,}52\cdot 10^{7}\,x=\text{constante}\Rightarrow x=\text{constante}+2{,}26\cdot 10^{8}\,t$

es decir, ese punto se desplaza hacia valores de $x$ cada vez mayores. La onda se propaga en el sentido POSITIVO del eje X.