Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2023

Una espira con forma de triángulo rectángulo con dos lados iguales de longitud $L$ está situada en el plano $xy$. La espira es recorrida por una corriente $I$ con el sentido que indica la figura. Un campo magnético $\vec B$ constante según el eje $z$ cruza la espira.



a) Calcule la fuerza que ejerce el campo $\vec B$ sobre cada uno de los lados del triángulo.

b) Calcule la fuerza total $\vec F$ que ejerce el campo sobre la espira.

De la figura del enunciado se lee la geometría: la espira ocupa el triángulo de vértices $(0,0)$, $(0,L)$ y $(L,L)$, y la corriente circula subiendo por la hipotenusa, hacia la izquierda por el cateto superior y bajando por el cateto vertical. El campo sale del papel, $\vec B=B\,\vec k$.

$\textbf{a) Calcule la fuerza que ejerce el campo } \boldsymbol{\vec B}\textbf{ sobre cada uno de los lados del triángulo.}$










Se aplica la ley de Laplace a cada lado, tomando el vector $\vec L$ del principio al final del tramo, en el sentido en que circula la corriente:

$\vec F=I\,\vec L\times\vec B$

Los productos vectoriales que hacen falta son:

$\vec\imath\times\vec k=-\vec\jmath\qquad \vec\jmath\times\vec k=\vec\imath$





i) Cateto superior, de $(L,L)$ a $(0,L)$, con $\vec L=-L\,\vec\imath$:

$\vec F_1=I\left(-L\,\vec\imath\right)\times\left(B\,\vec k\right)=+I\,L\,B\,\vec\jmath$

ii) Cateto vertical, de $(0,L)$ a $(0,0)$, con $\vec L=-L\,\vec\jmath$:

$\vec F_2=I\left(-L\,\vec\jmath\right)\times\left(B\,\vec k\right)=-I\,L\,B\,\vec\imath$

iii) Hipotenusa, de $(0,0)$ a $(L,L)$, con $\vec L=L\,\vec\imath+L\,\vec\jmath$:

$\vec F_3=I\left(L\,\vec\imath+L\,\vec\jmath\right)\times\left(B\,\vec k\right)=I\,L\,B\left(\vec\imath-\vec\jmath\right)$

Los dos catetos reciben cada uno una fuerza de módulo $I\,L\,B$, perpendicular a ellos y hacia fuera de la espira; la hipotenusa recibe una fuerza de módulo $\sqrt2\,I\,L\,B$, también perpendicular a ella y hacia fuera. Obsérvese que en la hipotenusa lo que cuenta no es su longitud $L\sqrt2$ multiplicada por nada raro, sino el propio vector que une sus extremos: para un campo uniforme, la fuerza sobre un tramo solo depende de sus puntos inicial y final.

$\textbf{b) Calcule la fuerza total } \boldsymbol{\vec F}\textbf{ que ejerce el campo sobre la espira.}$

Basta sumar las tres:

$\vec F=\vec F_1+\vec F_2+\vec F_3$

$\vec F=I\,L\,B\,\vec\jmath-I\,L\,B\,\vec\imath+I\,L\,B\,\vec\imath-I\,L\,B\,\vec\jmath$

$\vec F=\vec 0$

La fuerza total sobre la espira es NULA. No es casualidad ni depende de la forma del triángulo: para cualquier circuito CERRADO dentro de un campo magnético UNIFORME la resultante es siempre nula, porque la suma de los vectores que unen los extremos de todos los tramos es el vector nulo. Lo que sí puede haber es un par de fuerzas que la haga girar, pero aquí tampoco: el momento magnético de la espira es paralelo al campo.