Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · La Rioja · 2023

Se dispone del sistema de la figura formado por dos cargas puntuales $q_{1} = q$ y $q_{2} = q$, ambas de igual masa $m$ y situadas en el eje $x$ a igual distancia $d$ del origen de coordenadas, según indica la figura.



a) Calcule la energía que almacena ese sistema.

b) En un cierto instante, las dos cargas se liberan. ¿A qué velocidad se estará moviendo cada carga cuando se duplique su distancia al origen?

$\textbf{a) Calcule la energía que almacena ese sistema.}$










La energía almacenada por una distribución de cargas es el trabajo que hay que realizar para montarla trayéndolas desde el infinito, y se calcula sumando un término por cada PAREJA de cargas.

Aquí solo hay una pareja, separada $2d$:

$U=k\dfrac{q_1\,q_2}{r}$





$U=\dfrac{k\,q^{2}}{2\,d}$

La energía almacenada es $U=\dfrac{k\,q^{2}}{2d}$, y es positiva porque las dos cargas son del mismo signo: hubo que trabajar contra la repulsión para acercarlas.

$\textbf{b) En un cierto instante, las dos cargas se liberan. ¿A qué velocidad se estará moviendo cada carga cuando se duplique su distancia al origen?}$

Al duplicarse la distancia de cada carga al origen, la separación entre ellas pasa de $2d$ a $4d$, y la energía potencial se reduce a la mitad:

$U'=\dfrac{k\,q^{2}}{4\,d}$

La fuerza eléctrica es conservativa, de modo que la energía mecánica del sistema se conserva y lo que ha perdido de potencial aparece como cinética:

$U=2\left(\dfrac12\,m\,v^{2}\right)+U'$

Se ha escrito el doble de la energía cinética de una carga porque las dos masas son iguales y, por simetría, las dos adquieren la misma rapidez: la cantidad de movimiento total era nula al principio y ha de seguir siéndolo.

$m\,v^{2}=U-U'=\dfrac{k\,q^{2}}{2\,d}-\dfrac{k\,q^{2}}{4\,d}=\dfrac{k\,q^{2}}{4\,d}$

$v=\sqrt{\dfrac{k\,q^{2}}{4\,m\,d}}=\dfrac{q}{2}\sqrt{\dfrac{k}{m\,d}}$

Cada carga se mueve con velocidad $v=\dfrac{q}{2}\sqrt{\dfrac{k}{m\,d}}$, en sentidos opuestos y alejándose del origen. Aunque siguieran alejándose indefinidamente la velocidad no crecería sin límite: el tope lo pone toda la energía potencial inicial, y da $v_{\max}=\dfrac{q}{\sqrt2}\sqrt{\dfrac{k}{m\,d}}$.