Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · La Rioja · 2023

Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas puntuales $q_{1} = 1\ \text{nC}$ y $q_{2} = -1\ \text{nC}$ situadas en el eje $x$ a igual distancia $d = 1\ \text{m}$ del origen de coordenadas, según indica la figura.



a) Calcule el vector campo eléctrico que crea el dipolo en el punto $P(2d,d)$.

b) Calcule el potencial eléctrico que crea el dipolo en cualquier punto $(x_{0},y_{0})$ del plano $xy$.

c) Además de aquellos situados en el infinito, calcule los puntos del plano $xy$ en los cuales el potencial eléctrico que crea el dipolo es cero.

Dato: constante de Coulomb $k = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{C}^{-2}$

Del dipolo de la figura se leen las posiciones, con $d=1\ \text{m}$:

$q_1=+1\ \text{nC}\ \text{en}\ (-1,\,0)\qquad q_2=-1\ \text{nC}\ \text{en}\ (1,\,0)$

$\textbf{a) Calcule el vector campo eléctrico que crea el dipolo en el punto } \boldsymbol{P(2d,d)}\textbf{.}$










El punto P está en $(2,\,1)$. Las distancias a cada carga son muy distintas, y ahí está la clave del problema:

$r_1=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}=3{,}16\ \text{m}$

$r_2=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}=1{,}41\ \text{m}$





El campo de $q_1$, positiva, se ALEJA de ella, en la dirección del vector unitario $\left(\tfrac{3}{\sqrt{10}},\,\tfrac{1}{\sqrt{10}}\right)$:

$E_1=k\dfrac{q}{r_1^{2}}=\dfrac{9\cdot 10^{9}\cdot 10^{-9}}{10}=0{,}9\ \text{N/C}$

$\vec E_1=0{,}9\,(0{,}949;\,0{,}316)=(0{,}854;\,0{,}285)\ \text{N/C}$

El campo de $q_2$, negativa, apunta HACIA ella, en la dirección $\left(-\tfrac{1}{\sqrt2},\,-\tfrac{1}{\sqrt2}\right)$:

$E_2=k\dfrac{q}{r_2^{2}}=\dfrac{9\cdot 10^{9}\cdot 10^{-9}}{2}=4{,}5\ \text{N/C}$

$\vec E_2=4{,}5\,(-0{,}707;\,-0{,}707)=(-3{,}18;\,-3{,}18)\ \text{N/C}$

Por el principio de superposición:

$\vec E_P=\vec E_1+\vec E_2=(-2{,}33;\,-2{,}90)\ \text{N/C}$

$E_P=\sqrt{2{,}33^{2}+2{,}90^{2}}=3{,}72\ \text{N/C}$

El campo en P vale $3{,}72\ \text{N/C}$ y apunta hacia abajo y a la izquierda, es decir, hacia la carga negativa: esta está cinco veces más cerca y su campo domina con diferencia.

$\textbf{b) Calcule el potencial eléctrico que crea el dipolo en cualquier punto } \boldsymbol{(x_{0},y_{0})}\textbf{ del plano } \boldsymbol{xy}\textbf{.}$

El potencial es un escalar y se suma directamente, cada término con el signo de su carga:

$V(x_0,y_0)=k\dfrac{q_1}{r_1}+k\dfrac{q_2}{r_2}$

Escribiendo las dos distancias en función de las coordenadas del punto:

$V(x_0,y_0)=k\,q\left(\dfrac{1}{\sqrt{(x_0+d)^{2}+y_0^{2}}}-\dfrac{1}{\sqrt{(x_0-d)^{2}+y_0^{2}}}\right)$

Y sustituyendo los datos, con $k\,q=9\cdot 10^{9}\cdot 10^{-9}=9\ \text{V}\cdot\text{m}$ y $d=1\ \text{m}$:

$V(x_0,y_0)=9\left(\dfrac{1}{\sqrt{(x_0+1)^{2}+y_0^{2}}}-\dfrac{1}{\sqrt{(x_0-1)^{2}+y_0^{2}}}\right)\ \text{V}$

$\textbf{c) Además de aquellos situados en el infinito, calcule los puntos del plano } \boldsymbol{xy}\textbf{ en los cuales el potencial eléctrico que crea el dipolo es cero.}$

Se impone que la expresión anterior se anule:

$\dfrac{1}{\sqrt{(x_0+1)^{2}+y_0^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{(x_0-1)^{2}+y_0^{2}}}\Rightarrow r_1=r_2$

Es decir, los puntos que buscamos son los que EQUIDISTAN de las dos cargas. Desarrollando:

$(x_0+1)^{2}+y_0^{2}=(x_0-1)^{2}+y_0^{2}\Rightarrow 4\,x_0=0$

$x_0=0$

El potencial se anula en todos los puntos del EJE Y, es decir, en la mediatriz del segmento que une las dos cargas. El resultado era previsible sin cálculo: al ser las dos cargas iguales y de signo opuesto, en cualquier punto equidistante los dos potenciales se cancelan. Obsérvese que en esos puntos el potencial es nulo pero el campo NO lo es: allí los dos campos tienen componente vertical opuesta pero componente horizontal en el mismo sentido.