Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Una partícula de masa $M_{1}$ se encuentra en el origen de coordenadas del plano $xy$. La componente $x$ del campo gravitatorio creado por esa partícula en el punto $(2,2)\ \text{m}$ es $-1{,}18\cdot 10^{-11}\ \text{N/kg}$.

a) Calcule el valor de la masa $M_{1}$.

b) ¿Cuál es el trabajo que realiza el campo gravitatorio creado por la masa $M_{1}$ para llevar otra partícula de masa $M_{2} = 5\ \text{kg}$ desde el punto $(4,0)\ \text{m}$ al punto $(2,2)\ \text{m}$?

Dato: constante de la gravitación universal $G = 6{,}7\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$

$\textbf{a) Calcule el valor de la masa } \boldsymbol{M_{1}}\textbf{.}$










El campo gravitatorio creado por una masa puntual apunta siempre HACIA ella:

$\vec g=-G\dfrac{M_1}{r^{2}}\,\vec u_r$

La distancia del origen al punto $(2,2)$ es:

$r=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2\sqrt2=2{,}83\ \text{m}$





El vector unitario que va del origen al punto es $\vec u_r=\left(\tfrac{2}{2\sqrt2},\,\tfrac{2}{2\sqrt2}\right)$, de modo que la componente X del campo vale:

$g_x=-G\dfrac{M_1}{r^{2}}\cdot\dfrac{2}{r}=-\dfrac{2\,G\,M_1}{r^{3}}$

El signo negativo es coherente con el dato del enunciado. Despejando la masa:

$M_1=\dfrac{|g_x|\,r^{3}}{2\,G}=\dfrac{1{,}18\cdot 10^{-11}\cdot\left(2\sqrt2\right)^{3}}{2\cdot 6{,}7\cdot 10^{-11}}$

$M_1=1{,}99\ \text{kg}$

La masa vale $M_1\simeq 2\ \text{kg}$.

$\textbf{b) ¿Cuál es el trabajo que realiza el campo gravitatorio creado por la masa } \boldsymbol{M_{1}}\textbf{ para llevar otra partícula de masa } \boldsymbol{M_{2} = 5\ \text{kg}}\textbf{ desde el punto } \boldsymbol{(4,0)\ \text{m}}\textbf{ al punto } \boldsymbol{(2,2)\ \text{m}}\textbf{?}$

El campo gravitatorio es conservativo, de modo que el trabajo que realiza no depende del camino y es igual a la disminución de la energía potencial:

$W=-\Delta E_p=M_2\left(V_i-V_f\right)$

Se calculan los dos potenciales, sabiendo que el punto inicial está a 4 m del origen y el final a $2\sqrt2=2{,}83\ \text{m}$:

$V_i=-G\dfrac{M_1}{4}=-\dfrac{6{,}7\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}99}{4}=-3{,}34\cdot 10^{-11}\ \text{J/kg}$

$V_f=-G\dfrac{M_1}{2{,}83}=-4{,}72\cdot 10^{-11}\ \text{J/kg}$

$W=5\left(-3{,}34\cdot 10^{-11}+4{,}72\cdot 10^{-11}\right)$

$W=6{,}91\cdot 10^{-11}\ \text{J}$

El trabajo que realiza el campo es de $6{,}91\cdot 10^{-11}\ \text{J}$, y es POSITIVO: la partícula se acerca a la masa que la atrae, así que el campo trabaja a favor del desplazamiento y la energía potencial del sistema disminuye.