Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2023

En un cierto experimento de colisión entre partículas se han originado un electrón relativista de velocidad $0{,}8c$, siendo $c$ la velocidad de la luz, y un fotón de 10 MeV de energía. Calcule:

a) La masa relativista del electrón.

b) La longitud de onda de De Broglie asociada al electrón.

c) La longitud de onda del fotón.

Datos: constante de Planck $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}$; velocidad de la luz en el vacío $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$; masa del electrón en reposo $m = 9{,}11\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; $1\ \text{eV} = 1{,}60\cdot 10^{-19}\ \text{J}$

$\textbf{a) La masa relativista del electrón.}$

La masa relativista es la de reposo multiplicada por el factor de Lorentz, que solo depende de la velocidad:

$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}8^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}36}}=\dfrac{5}{3}$

$m=\gamma\,m_0=\dfrac{5}{3}\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}$

$m=1{,}52\cdot 10^{-30}\ \text{kg}$

La masa relativista del electrón es de $1{,}52\cdot 10^{-30}\ \text{kg}$, cinco tercios de su masa en reposo.



$\textbf{b) La longitud de onda de De Broglie asociada al electrón.}$

La hipótesis de De Broglie asocia a toda partícula una longitud de onda inversamente proporcional a su cantidad de movimiento, que hay que calcular con la masa RELATIVISTA:

$p=m\,v=1{,}52\cdot 10^{-30}\cdot 0{,}8\cdot 3\cdot 10^{8}=3{,}64\cdot 10^{-22}\ \text{kg m/s}$

$\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{3{,}64\cdot 10^{-22}}$

$\lambda=1{,}82\cdot 10^{-12}\ \text{m}$

La longitud de onda de De Broglie del electrón es de $1{,}82\cdot 10^{-12}\ \text{m}$, del orden de la centésima parte del tamaño de un átomo.

$\textbf{c) La longitud de onda del fotón.}$

Para el fotón se usa la relación de Planck entre su energía y su longitud de onda, pasando antes los megaelectronvoltios a julios:

$E=10\ \text{MeV}=10^{7}\cdot 1{,}60\cdot 10^{-19}=1{,}60\cdot 10^{-12}\ \text{J}$

$E=h\,\dfrac{c}{\lambda}\Rightarrow \lambda=\dfrac{h\,c}{E}=\dfrac{6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{1{,}60\cdot 10^{-12}}$

$\lambda=1{,}24\cdot 10^{-13}\ \text{m}$

La longitud de onda del fotón es de $1{,}24\cdot 10^{-13}\ \text{m}$, propia de la radiación gamma. Es unas quince veces menor que la del electrón, pese a que este viaja a 0,8c: la relación entre longitud de onda y energía no es la misma para una partícula con masa que para un fotón.