Ejercicio resuelto de Ondas · Física · La Rioja · 2023

La ecuación de una onda transversal que viaja por una cuerda viene dada por

$y(x,t) = 6\,\text{sen}(0{,}02\pi x + 4\pi t),$

donde $x$ e $y$ están expresadas en cm y $t$ en segundos.

a) Determine su frecuencia y su longitud de onda.

b) ¿En qué sentido se propaga la onda?

c) Calcule la velocidad de propagación de la onda.

d) Calcule la velocidad y la aceleración máximas de vibración de un punto de la cuerda.

Se compara la ecuación del enunciado con la forma general de una onda armónica:

$y(x,t)=A\,\text{sen}\left(\omega t\pm k\,x\right)$

e identificando términos, con las magnitudes en centímetros y segundos:

$A=6\ \text{cm}\qquad \omega=4\pi\ \text{rad/s}\qquad k=0{,}02\pi\ \text{rad/cm}$

$\textbf{a) Determine su frecuencia y su longitud de onda.}$

La frecuencia angular y la frecuencia están ligadas por $\omega=2\pi f$:

$f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{4\pi}{2\pi}=2\ \text{Hz}$

Y el número de onda con la longitud de onda por $k=2\pi/\lambda$:

$\lambda=\dfrac{2\pi}{0{,}02\pi}=100\ \text{cm}=1\ \text{m}$



La onda tiene una frecuencia de 2 Hz y una longitud de onda de 1 m. Su periodo es, por tanto, $T=0{,}5\ \text{s}$.

$\textbf{b) ¿En qué sentido se propaga la onda?}$

Lo dice el signo relativo de los dos términos de la fase. Un punto de fase constante cumple:

$0{,}02\pi\,x+4\pi\,t=\text{constante}\Rightarrow x=\text{constante}-200\,t$

es decir, a medida que pasa el tiempo ese punto se desplaza hacia valores de $x$ cada vez menores.

La onda se propaga en el sentido NEGATIVO del eje X. La regla es general: cuando los dos términos de la fase llevan el mismo signo, la onda viaja hacia el sentido negativo; cuando lo llevan contrario, hacia el positivo.

$\textbf{c) Calcule la velocidad de propagación de la onda.}$

$v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{4\pi}{0{,}02\pi}=200\ \text{cm/s}$

$v=2\ \text{m/s}$

La onda avanza por la cuerda a $2\ \text{m/s}$, resultado que se comprueba con $v=\lambda f=1\cdot 2=2\ \text{m/s}$.

$\textbf{d) Calcule la velocidad y la aceleración máximas de vibración de un punto de la cuerda.}$

Cada punto de la cuerda describe un movimiento armónico simple perpendicular a la propagación. Derivando la elongación respecto del tiempo:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=A\,\omega\cos(\ldots)\Rightarrow v_{y,\max}=A\,\omega$

$a_y=\dfrac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=-A\,\omega^{2}\,\text{sen}(\ldots)\Rightarrow a_{y,\max}=A\,\omega^{2}$

$v_{y,\max}=0{,}06\cdot 4\pi=0{,}754\ \text{m/s}$

$a_{y,\max}=0{,}06\cdot(4\pi)^{2}=9{,}48\ \text{m/s}^{2}$

La velocidad máxima de vibración es de $0{,}754\ \text{m/s}$ y se alcanza al pasar por la posición de equilibrio; la aceleración máxima es de $9{,}48\ \text{m/s}^{2}$ y se alcanza en las crestas y en los valles. Conviene no confundir esta velocidad de vibración con la de propagación, que es de 2 m/s y va en otra dirección.