Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2023

Una carga puntual $q = 200\ \mu\text{C}$ tiene una masa de $m = 6\cdot 10^{-6}\ \text{g}$ y se mueve con una velocidad $\vec v = 4\cdot 10^{2}\ \text{m/s}\ \vec\imath$ según el eje $x$. En un cierto instante $t=0$ se establece un campo magnético $\vec B = 5\cdot 10^{-3}\ \text{T}\ \vec k$ según el eje $z$.

a) Calcule el vector fuerza magnética $\vec F$ que el campo magnético $\vec B$ ejerce sobre la carga $q$.

Sabemos que para $t>0$, la trayectoria que va a describir $q$ debido a la fuerza magnética $\vec F$ es una circunferencia.

b) Calcule el radio $R$ de dicha trayectoria.

c) Razone en qué plano será recorrida esa trayectoria circular y si dicha trayectoria será recorrida por la carga $q$ en sentido horario o en sentido antihorario.

$\textbf{a) Calcule el vector fuerza magnética } \boldsymbol{\vec F}\textbf{ que el campo magnético } \boldsymbol{\vec B}\textbf{ ejerce sobre la carga } \boldsymbol{q}\textbf{.}$










La fuerza magnética sobre una carga en movimiento es:

$\vec F=q\,(\vec v\times\vec B)$

Los dos vectores son perpendiculares entre sí, uno según el eje X y otro según el Z, así que el producto vectorial es inmediato:

$\vec\imath\times\vec k=-\vec\jmath$





$\vec F=2\cdot 10^{-4}\left(4\cdot 10^{2}\,\vec\imath\right)\times\left(5\cdot 10^{-3}\,\vec k\right)$

$\vec F=-2\cdot 10^{-4}\cdot 4\cdot 10^{2}\cdot 5\cdot 10^{-3}\,\vec\jmath$

$\vec F=-4\cdot 10^{-4}\,\vec\jmath\ \text{N}$

La fuerza vale $4\cdot 10^{-4}\ \text{N}$ y está dirigida en el sentido negativo del eje Y.

$\textbf{b) Calcule el radio } \boldsymbol{R}\textbf{ de dicha trayectoria.}$

La fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, de modo que no cambia su módulo y actúa como fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento circular uniforme:

$q\,v\,B=\dfrac{m\,v^{2}}{R}\Rightarrow R=\dfrac{m\,v}{q\,B}$

$R=\dfrac{6\cdot 10^{-9}\cdot 4\cdot 10^{2}}{2\cdot 10^{-4}\cdot 5\cdot 10^{-3}}$

$R=2{,}4\ \text{m}$

El radio de la trayectoria es de $2{,}4\ \text{m}$.

$\textbf{c) Razone en qué plano será recorrida esa trayectoria circular y si dicha trayectoria será recorrida por la carga } \boldsymbol{q}\textbf{ en sentido horario o en sentido antihorario.}$

La fuerza magnética es en todo instante perpendicular al campo, que es constante y va según el eje Z. Por tanto la fuerza no tiene nunca componente Z, la velocidad tampoco la adquiere, y el movimiento queda confinado en el PLANO XY, perpendicular al campo.

En cuanto al sentido, basta mirar el instante inicial. La carga se mueve según $+\vec\imath$ y la fuerza apunta según $-\vec\jmath$: el centro de la circunferencia está, por tanto, por debajo de la carga. Una partícula que avanza hacia la derecha con el centro debajo describe la circunferencia en sentido HORARIO, mirando el plano XY desde el semieje Z positivo, que es el punto de vista habitual.

El movimiento es, pues, circular uniforme en el plano XY y recorrido en sentido horario, con un periodo $T=\dfrac{2\pi m}{qB}=3{,}77\cdot 10^{-2}\ \text{s}$ que no depende de la velocidad.