Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · La Rioja · 2023

Una carga puntual $q_{1} = 1\ \mu\text{C}$ y masa $m = 1\ \text{g}$ está situada en el eje $x$ a una distancia $x_{1} = 10\ \text{cm}$ del origen de coordenadas O. Dos cargas puntuales iguales $q_{2} = q_{3} = 1\ \mu\text{C}$ se encuentran fijas sobre el eje $y$ a igual distancia de 10 cm del origen de coordenadas O.



a) Calcule el módulo, dirección y sentido de la mínima velocidad que hay que suministrar a $q_{1}$ para que alcance el origen de coordenadas O.

b) Calcule el módulo, dirección y sentido de la aceleración de $q_{1}$ en la posición inicial $x_{1} = 10\ \text{cm}$.

c) Calcule el módulo, dirección y sentido de la aceleración de $q_{1}$ cuando alcanza el origen de coordenadas.

Dato: constante de Coulomb $k = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{C}^{-2}$

De la figura del enunciado se leen las posiciones: $q_1$ está en $(0{,}10;\,0)$ y $q_2$ y $q_3$ en $(0;\,\pm 0{,}10)$, todas en metros. La distancia de $q_1$ a cada una de las otras dos es la diagonal del cuadrado:

$r=\sqrt{0{,}10^{2}+0{,}10^{2}}=0{,}1414\ \text{m}$

$\textbf{a) Calcule el módulo, dirección y sentido de la mínima velocidad que hay que suministrar a } \boldsymbol{q_{1}}\textbf{ para que alcance el origen de coordenadas O.}$










El potencial es un escalar, así que basta sumar el de las dos cargas fijas, que son iguales y están a la misma distancia.

En la posición inicial:

$V_1=\dfrac{2\,k\,q}{r}=\dfrac{2\cdot 9\cdot 10^{9}\cdot 10^{-6}}{0{,}1414}=1{,}27\cdot 10^{5}\ \text{V}$





Y en el origen, donde la distancia a cada una es de 0,10 m:

$V_O=\dfrac{2\,k\,q}{0{,}10}=1{,}80\cdot 10^{5}\ \text{V}$

El origen está a MAYOR potencial que la posición inicial, y $q_1$ es positiva: hay que empujarla contra la repulsión de las otras dos. Como la fuerza eléctrica es conservativa, se conserva la energía mecánica, y la velocidad mínima es la que hace que llegue a O justo con velocidad nula:

$\dfrac12\,m\,v^{2}+q_1\,V_1=0+q_1\,V_O$

$v=\sqrt{\dfrac{2\,q_1\left(V_O-V_1\right)}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 10^{-6}\left(1{,}80\cdot 10^{5}-1{,}27\cdot 10^{5}\right)}{10^{-3}}}$

$v=10{,}3\ \text{m/s}$

Hay que lanzar $q_1$ con una velocidad de $10{,}3\ \text{m/s}$, en la dirección del eje X y en sentido negativo, es decir, apuntando hacia el origen.

$\textbf{b) Calcule el módulo, dirección y sentido de la aceleración de } \boldsymbol{q_{1}}\textbf{ en la posición inicial } \boldsymbol{x_{1} = 10\ \text{cm}}\textbf{.}$

Ahora sí hay que sumar vectorialmente. Cada carga fija crea en la posición de $q_1$ un campo de módulo:

$E_i=k\dfrac{q}{r^{2}}=\dfrac{9\cdot 10^{9}\cdot 10^{-6}}{0{,}1414^{2}}=4{,}5\cdot 10^{5}\ \text{N/C}$

que se aleja de ella. Por simetría, las componentes verticales se cancelan y las horizontales se suman; la proyección de cada una vale $\cos 45^\circ$:

$E=2\,E_i\cos 45^\circ=2\cdot 4{,}5\cdot 10^{5}\cdot 0{,}7071=6{,}36\cdot 10^{5}\ \text{N/C}$

$a=\dfrac{q_1\,E}{m}=\dfrac{10^{-6}\cdot 6{,}36\cdot 10^{5}}{10^{-3}}$

$a=6{,}36\cdot 10^{2}\ \text{m/s}^{2}$

La aceleración inicial vale $636\ \text{m/s}^{2}$, tiene la dirección del eje X y el sentido POSITIVO: la repulsión aleja a $q_1$ del origen, que es justo por lo que hay que lanzarla.

$\textbf{c) Calcule el módulo, dirección y sentido de la aceleración de } \boldsymbol{q_{1}}\textbf{ cuando alcanza el origen de coordenadas.}$

En el origen, las dos cargas fijas están a la misma distancia y en direcciones exactamente opuestas, de modo que los dos campos tienen el mismo módulo y sentidos contrarios:

$\vec E_O=\vec E_2+\vec E_3=\vec 0$

$a=0\ \text{m/s}^{2}$

La aceleración en el origen es nula. El origen es un punto de equilibrio de la distribución, pero inestable a lo largo del eje X: si $q_1$ se desplaza un poco hacia un lado, la repulsión la expulsa.