Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Un satélite artificial de masa $m_{1} = 1000\ \text{kg}$ describe una órbita circular alrededor de la Tierra. Se sabe que la energía total que tiene ese satélite es $E = -3\cdot 10^{10}\ \text{J}$.

a) Calcule la altura $h$ sobre la superficie de la Tierra a la que orbita ese satélite.

b) Calcule la velocidad $v_{1}$ de ese satélite de masa $m_{1}$ en esa órbita circular.

c) En un cierto instante, el satélite de masa $m_{1}$ se acopla a otro satélite de masa $m_{2} = 500\ \text{kg}$, de forma que, tras el acoplamiento, ambos satélites viajan juntos. Sabiendo que tras el acoplamiento la velocidad del conjunto se reduce un 10 % respecto a la velocidad $v_{1}$ que tenía el satélite de masa $m_{1}$ inicialmente, determine el radio de la nueva órbita conjunta, supuesta circular.

Datos: radio de la Tierra $R_{T} = 6{,}4\cdot 10^{3}\ \text{km}$; masa de la Tierra $M_{T} = 6\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; constante de la gravitación universal $G = 6{,}7\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$

$\textbf{a) Calcule la altura } \boldsymbol{h}\textbf{ sobre la superficie de la Tierra a la que orbita ese satélite.}$










Para una órbita circular, la fuerza gravitatoria hace de centrípeta y de ahí sale la energía cinética en función del radio:

$\dfrac12\,m\,v^{2}=\dfrac{G\,M_T\,m}{2\,r}$

Sumando la energía potencial resulta una energía mecánica que solo depende del radio:

$E=-\dfrac{G\,M_T\,m_1}{2\,r}$





Despejando el radio y sustituyendo los datos:

$r=-\dfrac{G\,M_T\,m_1}{2\,E}=-\dfrac{6{,}7\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 10^{24}\cdot 1000}{2\cdot\left(-3\cdot 10^{10}\right)}$

$r=6{,}7\cdot 10^{6}\ \text{m}$

$h=r-R_T=6{,}7\cdot 10^{6}-6{,}4\cdot 10^{6}=3{,}0\cdot 10^{5}\ \text{m}$

El satélite orbita a $3{,}0\cdot 10^{5}\ \text{m}$ de altura, es decir, a 300 km sobre la superficie.

$\textbf{b) Calcule la velocidad } \boldsymbol{v_{1}}\textbf{ de ese satélite de masa } \boldsymbol{m_{1}}\textbf{ en esa órbita circular.}$

$v_1=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}=\sqrt{\dfrac{6{,}7\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 10^{24}}{6{,}7\cdot 10^{6}}}$

$v_1=7{,}75\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$

La velocidad orbital es de $7{,}75\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$, unos 7,7 km/s, la típica de una órbita baja.

$\textbf{c) Determine el radio de la nueva órbita conjunta, supuesta circular.}$

La velocidad del conjunto se reduce un 10 %:

$v_2=0{,}9\,v_1=0{,}9\cdot 7{,}75\cdot 10^{3}=6{,}97\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$

En cualquier órbita circular se sigue cumpliendo la misma relación entre velocidad y radio, y conviene notar que en ella NO aparece la masa del satélite: da igual que ahora sean 1500 kg.

$v_2^{2}=\dfrac{G\,M_T}{r_2}\Rightarrow r_2=\dfrac{G\,M_T}{v_2^{2}}$

$r_2=\dfrac{6{,}7\cdot 10^{-11}\cdot 6\cdot 10^{24}}{\left(6{,}97\cdot 10^{3}\right)^{2}}=8{,}27\cdot 10^{6}\ \text{m}$

El radio de la nueva órbita es de $8{,}27\cdot 10^{6}\ \text{m}$, lo que equivale a una altura de 1872 km sobre la superficie. Se puede obtener sin sustituir números: como $r\propto 1/v^{2}$, al multiplicar la velocidad por 0,9 el radio se multiplica por $1/0{,}81=1{,}23$.