Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es aproximadamente 12 veces mayor que el periodo correspondiente de la Tierra. Considerando circulares las órbitas de los planetas, determine:

a) Cuántas veces la distancia desde Júpiter hasta el Sol supera la distancia entre la Tierra y el Sol.

b) La velocidad de Júpiter en su órbita (supuesta circular) alrededor del Sol.

c) La aceleración de Júpiter en su órbita (supuesta circular) alrededor del Sol.

Datos: masa del Sol $M_{S} \approx 2\cdot 10^{30}\ \text{kg}$; constante de la gravitación universal $G \approx 6{,}7\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$; radio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol supuesta circular $r_{T} \approx 1{,}5\cdot 10^{8}\ \text{km}$

$\textbf{a) Cuántas veces la distancia desde Júpiter hasta el Sol supera la distancia entre la Tierra y el Sol.}$

Los dos planetas giran alrededor del mismo cuerpo central, de modo que se les puede aplicar la tercera ley de Kepler. Conviene recordar de dónde sale: para una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de centrípeta, y escribiendo la aceleración centrípeta en función del periodo resulta:

$G\dfrac{M_S\,m}{r^{2}}=m\,\dfrac{4\pi^{2}r}{T^{2}}\Rightarrow \dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{G\,M_S}$

El segundo miembro es el mismo para todos los planetas, así que:

$\dfrac{T_J^{2}}{r_J^{3}}=\dfrac{T_T^{2}}{r_T^{3}}\Rightarrow \dfrac{r_J}{r_T}=\sqrt[3]{\left(\dfrac{T_J}{T_T}\right)^{2}}$

$\dfrac{r_J}{r_T}=\sqrt[3]{12^{2}}=\sqrt[3]{144}=5{,}24$

La distancia de Júpiter al Sol es 5,24 veces la de la Tierra al Sol.



$\textbf{b) La velocidad de Júpiter en su órbita (supuesta circular) alrededor del Sol.}$

Se calcula primero el radio de la órbita de Júpiter:

$r_J=5{,}24\cdot 1{,}5\cdot 10^{11}=7{,}86\cdot 10^{11}\ \text{m}$

Y la velocidad orbital sale de igualar la fuerza gravitatoria a la centrípeta:

$G\dfrac{M_S\,m}{r_J^{2}}=\dfrac{m\,v^{2}}{r_J}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{G\,M_S}{r_J}}$

$v=\sqrt{\dfrac{6{,}7\cdot 10^{-11}\cdot 2\cdot 10^{30}}{7{,}86\cdot 10^{11}}}=1{,}31\cdot 10^{4}\ \text{m/s}$

Júpiter recorre su órbita a $1{,}31\cdot 10^{4}\ \text{m/s}$, unos 13 km/s, algo menos de la mitad de la velocidad orbital de la Tierra.

$\textbf{c) La aceleración de Júpiter en su órbita (supuesta circular) alrededor del Sol.}$

La única fuerza sobre Júpiter es la gravitatoria, de modo que su aceleración es el campo gravitatorio del Sol a esa distancia:

$a=\dfrac{F}{m}=G\dfrac{M_S}{r_J^{2}}=\dfrac{6{,}7\cdot 10^{-11}\cdot 2\cdot 10^{30}}{\left(7{,}86\cdot 10^{11}\right)^{2}}$

$a=2{,}17\cdot 10^{-4}\ \text{m/s}^{2}$

La aceleración de Júpiter es de $2{,}17\cdot 10^{-4}\ \text{m/s}^{2}$, dirigida hacia el Sol. Se comprueba con la expresión de la aceleración centrípeta: $a=v^{2}/r_J=2{,}17\cdot 10^{-4}\ \text{m/s}^{2}$.