Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2024

Una nave espacial parte desde la Tierra hacia la estrella X con una velocidad $v = 0{,}6c$. Respecto a los relojes de la Tierra, la nave tarda 10 años en llegar a la estrella X.

a) Calcule en años-luz la distancia respecto a la Tierra a la que se encuentra la estrella X.

b) Calcule en años-luz la distancia respecto a la nave a la que se encuentra la estrella X.

c) Calcule en años el tiempo que los relojes de la nave atrasarán medidos respecto de la Tierra cuando la nave llegue a la estrella X.

Todo el problema se resuelve con el factor de Lorentz correspondiente a la velocidad de la nave:

$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-0{,}6^{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}64}}=1{,}25$

$\textbf{a) Calcule en años-luz la distancia respecto a la Tierra a la que se encuentra la estrella X.}$

En el sistema de referencia de la Tierra, la nave viaja a velocidad constante durante 10 años terrestres, de modo que la distancia es sencillamente el producto:

$d=v\,t=0{,}6\,c\cdot 10\ \text{años}$

$d=6\ \text{años-luz}$

La estrella X está a 6 años-luz de la Tierra, medidos por un observador terrestre. Nótese que la unidad sale sola: la velocidad de la luz por un año es, por definición, un año-luz.

$\textbf{b) Calcule en años-luz la distancia respecto a la nave a la que se encuentra la estrella X.}$



Para los tripulantes, la Tierra y la estrella se mueven, y la distancia entre ellas es una longitud propia medida en el sistema terrestre. En el sistema de la nave esa longitud aparece contraída por el factor de Lorentz:

$d'=\dfrac{d}{\gamma}=\dfrac{6}{1{,}25}$

$d'=4{,}8\ \text{años-luz}$

Desde la nave, la estrella X está a 4,8 años-luz.

$\textbf{c) Calcule en años el tiempo que los relojes de la nave atrasarán medidos respecto de la Tierra cuando la nave llegue a la estrella X.}$

El tiempo que marcan los relojes de la nave es el tiempo propio, porque salida y llegada ocurren en el mismo punto del sistema de la nave. Se relaciona con el terrestre por la dilatación temporal:

$\Delta t=\gamma\,\Delta t_p\Rightarrow \Delta t_p=\dfrac{\Delta t}{\gamma}=\dfrac{10}{1{,}25}=8\ \text{años}$

El atraso pedido es la diferencia entre los dos:

$\Delta t-\Delta t_p=10-8=2\ \text{años}$

Los relojes de la nave atrasan 2 años respecto de los terrestres. Se comprueba la coherencia del resultado: para los tripulantes, recorrer 4,8 años-luz a $0{,}6\,c$ lleva $4{,}8/0{,}6=8$ años, exactamente su tiempo propio.