Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2024

Un muelle de masa despreciable de 10 cm de longitud natural tiene uno de sus extremos fijos en una pared vertical mientras que el otro extremo del muelle está unido a una masa $m$ que descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Sobre la masa $m$ se aplica una fuerza de 5 N que lo mantiene estirado hasta una longitud de 15 cm. Desde esta posición, se suelta de forma que la masa $m$ comienza a oscilar describiendo un movimiento vibratorio armónico simple (m.v.a.s.) con una frecuencia angular de $2\pi\ \text{rad/s}$. Calcule:

a) La ecuación del m.v.a.s. que describe la posición de la masa $m$ en cada instante del tiempo $t$.

b) La constante recuperadora $k$ del muelle.

c) El valor de la masa $m$ que oscila.

d) La energía potencial elástica de la masa $m$ cuando la longitud del muelle es de 8 cm.

$\textbf{a) La ecuación del m.v.a.s. que describe la posición de la masa } \boldsymbol{m}\textbf{ en cada instante del tiempo } \boldsymbol{t}\textbf{.}$










La posición de equilibrio es la del muelle con su longitud natural, porque la superficie es horizontal y sin rozamiento. La deformación con la que se suelta el bloque es, por tanto, la amplitud:

$A=15\ \text{cm}-10\ \text{cm}=5\ \text{cm}=0{,}05\ \text{m}$





La elongación de un movimiento armónico simple es:

$x(t)=A\cos\left(\omega t+\varphi_0\right)$

Tomando el origen en la posición de equilibrio y el sentido positivo el del estiramiento, en el instante inicial el bloque está en la elongación máxima y en reposo:

$x(0)=A\Rightarrow \cos\varphi_0=1\Rightarrow \varphi_0=0$

Por tanto:

$x(t)=0{,}05\,\cos\left(2\pi\,t\right)\ \ \text{(}x\text{ en metros y }t\text{ en segundos)}$

Al ser $\omega=2\pi\ \text{rad/s}$, el periodo del movimiento es $T=2\pi/\omega=1\ \text{s}$: el bloque completa una oscilación por segundo.

$\textbf{b) La constante recuperadora } \boldsymbol{k}\textbf{ del muelle.}$

Mientras el bloque está quieto, la fuerza aplicada equilibra a la recuperadora del muelle, que por la ley de Hooke vale $k\,A$ en módulo:

$F=k\,A\Rightarrow k=\dfrac{F}{A}=\dfrac{5}{0{,}05}$

$k=100\ \text{N/m}$

$\textbf{c) El valor de la masa } \boldsymbol{m}\textbf{ que oscila.}$

La frecuencia angular de un sistema masa-muelle sale de aplicar la segunda ley de Newton con la fuerza de Hooke:

$-k\,x=m\,a=-m\,\omega^{2}x\Rightarrow \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

Despejando la masa:

$m=\dfrac{k}{\omega^{2}}=\dfrac{100}{(2\pi)^{2}}$

$m=2{,}53\ \text{kg}$

$\textbf{d) La energía potencial elástica de la masa } \boldsymbol{m}\textbf{ cuando la longitud del muelle es de 8 cm.}$

Lo que cuenta en la energía elástica es la DEFORMACIÓN respecto de la longitud natural, no la longitud del muelle:

$x=8\ \text{cm}-10\ \text{cm}=-2\ \text{cm}=-0{,}02\ \text{m}$

El signo negativo indica que el muelle está comprimido, pero la energía solo depende del cuadrado:

$E_p=\dfrac12\,k\,x^{2}=\dfrac12\cdot 100\cdot(-0{,}02)^{2}$

$E_p=0{,}02\ \text{J}$

La energía potencial elástica en esa posición es de $0{,}02\ \text{J}$. Como la energía mecánica total vale $\frac12 kA^{2}=0{,}125\ \text{J}$, el resto, $0{,}105\ \text{J}$, es energía cinética: el bloque pasa por ahí en movimiento.