Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2024

Tres conductores rectilíneos muy largos y paralelos pasan a través de los vértices de un cuadrado de lado $L$, según se muestra en la figura. Las corrientes $I_{1}$ e $I_{3}$ circulan hacia dentro del papel e $I_{2}$ circula hacia fuera del papel. Determine la relación entre los valores de las corrientes para que el vector campo magnético total creado por los tres conductores en el vértice P no ocupado sea cero.

$\textbf{Determine la relación entre los valores de las corrientes para que el vector campo magnético total creado por los tres conductores en el vértice P no ocupado sea cero.}$










De la figura se leen las distancias de cada conductor al vértice libre P: los dos conductores de los vértices contiguos están a $L$ y el de la diagonal, a $L\sqrt2$.

El módulo del campo de un conductor recto indefinido es:

$B=\dfrac{\mu_0\,I}{2\pi\,r}$





La dirección la da la regla de la mano derecha: el campo es siempre perpendicular al segmento que une el conductor con el punto. Tomando el eje X horizontal y el eje Y vertical, y llamando $I_1$ e $I_3$ a las corrientes de los vértices contiguos a P (las dos entrantes) e $I_2$ a la de la diagonal (saliente):

$\vec B_1=\dfrac{\mu_0\,I_1}{2\pi\,L}\,\vec u_1\qquad \vec B_3=\dfrac{\mu_0\,I_3}{2\pi\,L}\,\vec u_3$

y esos dos campos son perpendiculares entre sí, uno horizontal y otro vertical.

El campo de la corriente de la diagonal es perpendicular a ella, de modo que forma $45^\circ$ con los ejes y tiene componentes en las dos direcciones, cada una igual a:

$B_2\cos 45^\circ=\dfrac{\mu_0\,I_2}{2\pi\,L\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\mu_0\,I_2}{4\pi\,L}$

Además, por ser $I_2$ de sentido contrario a las otras dos, su campo se opone a los de $I_1$ e $I_3$ en cada dirección. Para que el campo total se anule han de cancelarse las dos componentes por separado:

$\dfrac{\mu_0\,I_1}{2\pi\,L}=\dfrac{\mu_0\,I_2}{4\pi\,L}\Rightarrow I_1=\dfrac{I_2}{2}$

$\dfrac{\mu_0\,I_3}{2\pi\,L}=\dfrac{\mu_0\,I_2}{4\pi\,L}\Rightarrow I_3=\dfrac{I_2}{2}$

La condición es, por tanto:

$I_2=2\,I_1=2\,I_3\qquad\text{es decir}\qquad I_1=I_3=\dfrac{I_2}{2}$

Las dos corrientes de los vértices contiguos han de ser iguales entre sí y la mitad de la de la diagonal. Tiene sentido: la corriente de la diagonal está $\sqrt2$ veces más lejos y además solo aporta la fracción $\cos 45^\circ$ a cada eje, así que necesita el doble de intensidad para compensar a cada una de las otras.