Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2024

Un haz de iones de ${}^{58}\text{Ni}^{+}$ y ${}^{60}\text{Ni}^{+}$ se acelera mediante una diferencia de potencial $\Delta V$. El haz de iones, todos ellos de igual carga $+q$, penetra en una región de campo magnético $B$ constante (región sombreada de la figura). Determine la relación entre los radios de curvatura de las órbitas de los iones ${}^{58}\text{Ni}^{+}$ y ${}^{60}\text{Ni}^{+}$ cuando abandonan la región de campo magnético. Suponga que la relación de masas entre los dos tipos de iones es 58:60.

$\textbf{Determine la relación entre los radios de curvatura de las órbitas de los iones } \boldsymbol{{}^{58}\text{Ni}^{+}}\textbf{ y } \boldsymbol{{}^{60}\text{Ni}^{+}}\textbf{ cuando abandonan la región de campo magnético.}$










El montaje encadena dos etapas y hay que recorrerlas en orden.

En la primera, los iones se aceleran al atravesar la diferencia de potencial. Todo el trabajo eléctrico se convierte en energía cinética, porque parten del reposo:

$q\,\Delta V=\dfrac12\,m\,v^{2}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2\,q\,\Delta V}{m}}$





Aquí está la clave del problema: como los dos isótopos tienen la misma carga y atraviesan la misma diferencia de potencial, salen con la MISMA energía cinética, no con la misma velocidad. El más pesado sale más despacio.

En la segunda etapa, dentro del campo magnético la fuerza magnética hace de centrípeta:

$q\,v\,B=\dfrac{m\,v^{2}}{R}\Rightarrow R=\dfrac{m\,v}{q\,B}$

Se sustituye la velocidad obtenida en la primera etapa:

$R=\dfrac{m}{q\,B}\sqrt{\dfrac{2\,q\,\Delta V}{m}}=\dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2\,m\,\Delta V}{q}}$

De modo que el radio es proporcional a la raíz cuadrada de la masa, y no a la masa:

$R\propto\sqrt{m}$

Al hacer el cociente entre los dos radios se simplifica todo lo demás:

$\dfrac{R_{58}}{R_{60}}=\sqrt{\dfrac{m_{58}}{m_{60}}}=\sqrt{\dfrac{58}{60}}$

$\dfrac{R_{58}}{R_{60}}=0{,}983$

La relación pedida es $R_{58}/R_{60}=\sqrt{58/60}=0{,}983$, es decir, el radio del isótopo ligero es un 1,7 % menor que el del pesado. La diferencia es pequeña justamente porque la raíz cuadrada amortigua la de las masas, que ya era solo del 3,3 %; de ahí que separar isótopos exija radios grandes y detectores finos.