Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · La Rioja · 2024

Dos masas puntuales de 0,2 kg y cargadas eléctricamente con $2\ \mu\text{C}$ cada una de ellas se encuentran inicialmente en reposo y separadas una distancia de 1 m.

a) Calcule la fuerza con que se repelen y la energía mecánica del sistema.

b) En un cierto instante, las cargas del apartado anterior se liberan. Calcule la velocidad que tendrá cada una de las cargas cuando se hayan separado entre sí una distancia de 4 m.

Dato: constante de Coulomb $k = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{C}^{-2}$

$\textbf{a) Calcule la fuerza con que se repelen y la energía mecánica del sistema.}$










Las dos cargas son iguales y positivas, de modo que se repelen. La ley de Coulomb da el módulo de la fuerza:

$F=k\dfrac{q^{2}}{r^{2}}$





$F=\dfrac{9\cdot 10^{9}\cdot\left(2\cdot 10^{-6}\right)^{2}}{1^{2}}=3{,}6\cdot 10^{-2}\ \text{N}$

La energía mecánica del sistema es la suma de la cinética y la potencial. Como las cargas están inicialmente en reposo, toda ella es potencial electrostática:

$E_m=E_c+E_p=0+k\dfrac{q^{2}}{r}=\dfrac{9\cdot 10^{9}\cdot 4\cdot 10^{-12}}{1}$

$E_m=3{,}6\cdot 10^{-2}\ \text{J}$

Las cargas se repelen con $3{,}6\cdot 10^{-2}\ \text{N}$ y la energía mecánica del sistema es de $3{,}6\cdot 10^{-2}\ \text{J}$. Que los dos números coincidan es casual: se debe a que la distancia inicial es exactamente 1 m.

$\textbf{b) En un cierto instante, las cargas del apartado anterior se liberan. Calcule la velocidad que tendrá cada una de las cargas cuando se hayan separado entre sí una distancia de 4 m.}$

La fuerza eléctrica es conservativa, así que se conserva la energía mecánica del sistema. Cuando la separación es de 4 m, la energía potencial se ha reducido a la cuarta parte:

$E_p'=k\dfrac{q^{2}}{r'}=\dfrac{9\cdot 10^{9}\cdot 4\cdot 10^{-12}}{4}=9\cdot 10^{-3}\ \text{J}$

La diferencia se ha convertido en energía cinética, repartida entre las dos cargas:

$E_c^{\text{total}}=E_p-E_p'=3{,}6\cdot 10^{-2}-9\cdot 10^{-3}=2{,}7\cdot 10^{-2}\ \text{J}$

Las dos masas son iguales y el sistema es simétrico, de modo que por conservación de la cantidad de movimiento las dos adquieren la misma rapidez y se reparten la energía a partes iguales:

$\dfrac12\,m\,v^{2}=\dfrac{2{,}7\cdot 10^{-2}}{2}=1{,}35\cdot 10^{-2}\ \text{J}$

$v=\sqrt{\dfrac{2\cdot 1{,}35\cdot 10^{-2}}{0{,}2}}=0{,}367\ \text{m/s}$

Cada carga se mueve a $0{,}367\ \text{m/s}$, en sentidos opuestos. Obsérvese que aunque se alejaran indefinidamente la velocidad no crecería sin límite: el tope lo pone toda la energía potencial inicial, y da $0{,}424\ \text{m/s}$.