Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2024

En un colisionador de hadrones se aceleran protones con una energía cinética de $1\cdot 10^{9}\ \text{eV}$. Sabiendo que la masa en reposo del protón es aproximadamente $1{,}67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$:

a) Calcule la masa relativista del protón cuando adquiere esa energía cinética.

b) Determine la velocidad con que viajan los protones al alcanzar esa energía cinética.

Datos: $1\ \text{eV} \approx 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{J}$; velocidad de la luz en el vacío $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

$\textbf{a) Calcule la masa relativista del protón cuando adquiere esa energía cinética.}$

En relatividad, la energía total de una partícula es la suma de su energía en reposo y su energía cinética:

$E=E_0+E_c=m_0\,c^{2}+E_c$

y esa energía total se puede escribir con la masa relativista, $E=m\,c^{2}$. Se calculan los dos sumandos en julios:

$E_0=m_0\,c^{2}=1{,}67\cdot 10^{-27}\cdot\left(3\cdot 10^{8}\right)^{2}=1{,}50\cdot 10^{-10}\ \text{J}$

$E_c=10^{9}\ \text{eV}\cdot\dfrac{1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{J}}{1\ \text{eV}}=1{,}60\cdot 10^{-10}\ \text{J}$

$E=1{,}50\cdot 10^{-10}+1{,}60\cdot 10^{-10}=3{,}10\cdot 10^{-10}\ \text{J}$

Y de ahí la masa relativista:

$m=\dfrac{E}{c^{2}}=\dfrac{3{,}10\cdot 10^{-10}}{\left(3\cdot 10^{8}\right)^{2}}$

$m=3{,}45\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$

La masa relativista del protón es de $3{,}45\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$, algo más del doble de su masa en reposo. Es la señal de que la energía cinética que se le ha comunicado es comparable a su energía en reposo, de 939 MeV.

$\textbf{b) Determine la velocidad con que viajan los protones al alcanzar esa energía cinética.}$

El cociente entre la masa relativista y la de reposo es el factor de Lorentz:

$\gamma=\dfrac{m}{m_0}=\dfrac{E}{E_0}=\dfrac{3{,}10\cdot 10^{-10}}{1{,}50\cdot 10^{-10}}$

$\gamma=2{,}06$



Y de la definición del factor de Lorentz se despeja la velocidad:

$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^{2}}}\Rightarrow \dfrac{v}{c}=\sqrt{1-\dfrac{1}{\gamma^{2}}}$

$\dfrac{v}{c}=\sqrt{1-\dfrac{1}{2{,}06^{2}}}=\sqrt{1-0{,}235}=0{,}875$

$v=0{,}875\cdot 3\cdot 10^{8}=2{,}62\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$

Los protones viajan a $2{,}62\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, el 87,5 % de la velocidad de la luz. La gráfica deja ver por qué el cálculo clásico no serviría: a partir de $\gamma\simeq 1{,}1$ la curva se separa de la unidad y la energía cinética deja de ser $\frac12 m v^{2}$.