Ejercicio resuelto de Ondas · Física · La Rioja · 2024

Una onda transversal se propaga en una cuerda situada a lo largo del eje $x$. La propagación de la onda es en el sentido positivo del eje $x$. La expresión matemática de la onda en los instantes $t = 0\ \text{s}$ y $t = 2\ \text{s}$ es, respectivamente,

$y(x,t=0) = 0{,}1\,\text{sen}(\pi - 4\pi x)\ \text{m},\qquad y(x,t=2) = 0{,}1\,\text{sen}(11\pi - 4\pi x)\ \text{m},$

donde todas las magnitudes están expresadas en el SI de unidades. Calcule:

a) La frecuencia angular $\omega$ y la expresión matemática de la onda.

b) La velocidad de propagación de la onda.

c) La aceleración máxima de oscilación de un punto de la cuerda.

$\textbf{a) La frecuencia angular } \boldsymbol{\omega}\textbf{ y la expresión matemática de la onda.}$

Una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje X se escribe:

$y(x,t)=A\,\text{sen}\left(\omega t-k\,x+\varphi_0\right)$

Comparando con las dos expresiones del enunciado se identifican de un vistazo la amplitud y el número de onda, que no dependen del tiempo:

$A=0{,}1\ \text{m}\qquad k=4\pi\ \text{rad/m}$

El resto de la fase tiene que coincidir en los dos instantes:

$\omega\cdot 0+\varphi_0=\pi\Rightarrow \varphi_0=\pi$

$\omega\cdot 2+\pi=11\pi\Rightarrow 2\,\omega=10\pi$

$\omega=5\pi\ \text{rad/s}=15{,}7\ \text{rad/s}$

Por tanto, la expresión de la onda es:

$y(x,t)=0{,}1\,\text{sen}\left(5\pi\,t-4\pi\,x+\pi\right)\ \text{m}$

con $x$ en metros y $t$ en segundos. De aquí salen también la frecuencia, $f=\omega/2\pi=2{,}5\ \text{Hz}$, el periodo, $T=0{,}4\ \text{s}$, y la longitud de onda, $\lambda=2\pi/k=0{,}5\ \text{m}$.



$\textbf{b) La velocidad de propagación de la onda.}$

La velocidad de propagación es el cociente entre la frecuencia angular y el número de onda:

$v=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{5\pi}{4\pi}$

$v=1{,}25\ \text{m/s}$

La onda avanza por la cuerda a $1{,}25\ \text{m/s}$, resultado que se comprueba con $v=\lambda f=0{,}5\cdot 2{,}5=1{,}25\ \text{m/s}$.

$\textbf{c) La aceleración máxima de oscilación de un punto de la cuerda.}$

Cada punto de la cuerda describe un movimiento armónico simple en la dirección perpendicular a la propagación. Derivando dos veces respecto del tiempo:

$v_y=\dfrac{\partial y}{\partial t}=A\,\omega\cos\left(\omega t-kx+\varphi_0\right)$

$a_y=\dfrac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=-A\,\omega^{2}\,\text{sen}\left(\omega t-kx+\varphi_0\right)=-\omega^{2}\,y$

El valor máximo se alcanza en los extremos de la oscilación, donde el seno vale $\pm 1$:

$a_{\max}=A\,\omega^{2}=0{,}1\cdot(5\pi)^{2}$

$a_{\max}=24{,}7\ \text{m/s}^{2}$

La aceleración máxima de oscilación es de $24{,}7\ \text{m/s}^{2}$, y se alcanza justo en las crestas y en los valles, que es donde la velocidad transversal se anula.