Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2024

Los dos conductores por los que circulan intensidades $I_{1} = 4\ \text{A}$ e $I_{2} = 6\ \text{A}$ son muy largos. El conductor por el que circula la intensidad $I_{3} = 2\ \text{A}$ tiene una longitud de $L = 8\ \text{cm}$.



a) Determine el vector campo magnético total creado por los conductores largos en los puntos del conductor de longitud $L = 8\ \text{cm}$.

b) Calcule el vector fuerza magnética total que los conductores largos ejercen sobre el conductor de $L = 8\ \text{cm}$.

Dato: permeabilidad magnética del vacío $\mu_{0} = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{N/A}^{2}$

$\textbf{a) Determine el vector campo magnético total creado por los conductores largos en los puntos del conductor de longitud } \boldsymbol{L = 8\ \text{cm}}\textbf{.}$










De la figura se leen las distancias: $I_2$ está 6 cm por encima del conductor corto y $I_1$ está 3 cm más arriba, es decir, a 9 cm.

El módulo del campo de un conductor recto indefinido es:

$B=\dfrac{\mu_0\,I}{2\pi\,r}$





Por la regla de la mano derecha, en los puntos situados por debajo de un conductor el campo entra en el papel si la corriente va hacia la derecha y sale si va hacia la izquierda. Tomando como positivo el sentido saliente ($+\vec k$):

$B_1=-\dfrac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 4}{2\pi\cdot 0{,}09}=-8{,}89\cdot 10^{-6}\ \text{T}$

$B_2=+\dfrac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 6}{2\pi\cdot 0{,}06}=+2{,}00\cdot 10^{-5}\ \text{T}$

Por el principio de superposición:

$\vec B=\left(-8{,}89\cdot 10^{-6}+2{,}00\cdot 10^{-5}\right)\vec k$

$\vec B=1{,}11\cdot 10^{-5}\,\vec k\ \text{T}$

El campo total sobre el conductor corto vale $1{,}11\cdot 10^{-5}\ \text{T}$ y SALE del papel: gana el de $I_2$, que además de estar más cerca lleva más corriente.

$\textbf{b) Calcule el vector fuerza magnética total que los conductores largos ejercen sobre el conductor de } \boldsymbol{L = 8\ \text{cm}}\textbf{.}$

Se aplica la ley de Laplace, teniendo en cuenta que el campo es el mismo en todos los puntos del conductor corto porque este es paralelo a los otros dos:

$\vec F=I_3\,\vec L\times\vec B$

La corriente $I_3$ va hacia la derecha ($+\vec\imath$) y el campo sale del papel ($+\vec k$). Como $\vec\imath\times\vec k=-\vec\jmath$:

$\vec F=-I_3\,L\,B\,\vec\jmath=-2\cdot 0{,}08\cdot 1{,}11\cdot 10^{-5}\,\vec\jmath$

$\vec F=-1{,}78\cdot 10^{-6}\,\vec\jmath\ \text{N}$

La fuerza vale $1{,}78\cdot 10^{-6}\ \text{N}$ y está dirigida hacia abajo, alejando el conductor corto de los otros dos.

Se puede comprobar sumando las dos fuerzas por separado: $I_1$ e $I_3$ son paralelas y se atraen, con $1{,}42\cdot 10^{-6}\ \text{N}$ hacia arriba; $I_2$ e $I_3$ son antiparalelas y se repelen, con $3{,}20\cdot 10^{-6}\ \text{N}$ hacia abajo. La diferencia es la fuerza calculada.