Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2024

Una carga $q = -1\ \text{nC}$ y masa $m = 8\cdot 10^{-21}\ \text{kg}$ penetra con una velocidad $v = 2\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ por el punto P en una región con un campo magnético $\vec B$ perpendicular al papel y hacia adentro (zona de color gris en la figura). Tras un cierto tiempo $t_{f}$, sabemos que la carga regresará a la primera región bien por el punto $Q_{1}$ que está situado a una distancia $d$ por encima de P, o bien por el punto $Q_{2}$ que está situado a esa misma distancia $d$ pero por debajo de P.



a) Razone si $q$ abandona la región sombreada por el punto $Q_{1}$ o por el punto $Q_{2}$.

b) Determine la intensidad de $\vec B$ para que la distancia $d$ sea de 50 cm.

c) Calcule el tiempo $t_{f}$ que la carga $q$ permanece dentro de la región sombreada.

$\textbf{a) Razone si } \boldsymbol{q}\textbf{ abandona la región sombreada por el punto } \boldsymbol{Q_{1}}\textbf{ o por el punto } \boldsymbol{Q_{2}}\textbf{.}$










Se decide con el sentido de la fuerza magnética en el instante de entrar:

$\vec F_m=q\,(\vec v\times\vec B)$

Con el eje X en el sentido de la velocidad, el eje Y hacia arriba y el eje Z saliendo del papel:

$\vec v=v\,\vec\imath\qquad \vec B=-B\,\vec k$





$\vec v\times\vec B=v\,\vec\imath\times\left(-B\,\vec k\right)=-v\,B\,(\vec\imath\times\vec k)=+v\,B\,\vec\jmath$

Si la carga fuera positiva la fuerza iría hacia arriba, pero aquí $q<0$, de modo que:

$\vec F_m=q\,v\,B\,\vec\jmath=-|q|\,v\,B\,\vec\jmath$

La fuerza apunta hacia abajo, así que la carga se curva hacia abajo y sale por el punto $Q_2$, el que está por debajo de P.

$\textbf{b) Determine la intensidad de } \boldsymbol{\vec B}\textbf{ para que la distancia } \boldsymbol{d}\textbf{ sea de 50 cm.}$

La fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, de modo que no cambia su módulo y hace de fuerza centrípeta: dentro de la región la trayectoria es un arco de circunferencia de radio:

$|q|\,v\,B=\dfrac{m\,v^{2}}{R}\Rightarrow R=\dfrac{m\,v}{|q|\,B}$

La carga entra perpendicularmente al borde de la región, así que el centro de la circunferencia cae sobre el propio borde: recorre exactamente media circunferencia y sale por un punto del mismo borde separado un diámetro del de entrada.

$d=2R\Rightarrow R=\dfrac{0{,}50}{2}=0{,}25\ \text{m}$

Despejando el campo:

$B=\dfrac{m\,v}{|q|\,R}=\dfrac{8\cdot 10^{-21}\cdot 2\cdot 10^{8}}{10^{-9}\cdot 0{,}25}$

$B=6{,}4\cdot 10^{-3}\ \text{T}$

Hace falta un campo de $6{,}4\cdot 10^{-3}\ \text{T}$, unos 6,4 militeslas.

$\textbf{c) Calcule el tiempo } \boldsymbol{t_{f}}\textbf{ que la carga } \boldsymbol{q}\textbf{ permanece dentro de la región sombreada.}$

Como recorre media circunferencia, el tiempo es medio periodo, y el periodo de un movimiento circular en un campo magnético no depende de la velocidad:

$T=\dfrac{2\pi\,m}{|q|\,B}\Rightarrow t_f=\dfrac{T}{2}=\dfrac{\pi\,m}{|q|\,B}$

$t_f=\dfrac{\pi\cdot 8\cdot 10^{-21}}{10^{-9}\cdot 6{,}4\cdot 10^{-3}}=3{,}93\cdot 10^{-9}\ \text{s}$

La carga permanece $3{,}93\cdot 10^{-9}\ \text{s}$ dentro de la región, unos 4 nanosegundos. Se comprueba con el arco recorrido: $t=\pi R/v=3{,}93\cdot 10^{-9}\ \text{s}$.

Conviene señalar que la velocidad del enunciado, $2\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, son dos tercios de la velocidad de la luz; el problema se resuelve, como pide el nivel, con la mecánica clásica.