Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · La Rioja · 2024

a) Calcule el campo eléctrico creado en el centro del hexágono regular de la figura. Lado del hexágono $L = 10\ \text{cm}$; $q = 1\ \mu\text{C}$.



b) Si en el centro del hexágono se coloca una carga puntual $q_{0} = -2\ \mu\text{C}$, determine el vector fuerza total $\vec F$ que las cargas situadas en las esquinas ejercen sobre esta carga $q_{0}$.

Dato: constante de Coulomb $k = 9\cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{C}^{-2}$

$\textbf{a) Calcule el campo eléctrico creado en el centro del hexágono regular de la figura. Lado del hexágono } \boldsymbol{L = 10\ \text{cm}}\textbf{; } \boldsymbol{q = 1\ \mu\text{C}}\textbf{.}$










En un hexágono regular la distancia del centro a cada vértice coincide con el lado:

$r=L=0{,}10\ \text{m}$

de modo que las seis cargas crean en el centro campos del mismo módulo:

$E_0=k\dfrac{q}{L^{2}}=\dfrac{9\cdot 10^{9}\cdot 10^{-6}}{0{,}10^{2}}=9\cdot 10^{5}\ \text{N/C}$





Lo que cambia de una a otra es el sentido: el campo se aleja de las tres cargas positivas, que están en la mitad superior, y apunta hacia las tres negativas, que están en la inferior. El resultado es que las seis contribuciones tienen componente vertical hacia abajo.

Tomando el eje X horizontal y el eje Y vertical, y los vértices en las posiciones angulares $90^\circ$, $30^\circ$, $-30^\circ$, $-90^\circ$, $-150^\circ$ y $150^\circ$, la suma de los vectores unitarios da:

$\sum u_x=0\qquad \sum u_y=-4$

Es decir, las componentes horizontales se cancelan dos a dos y las verticales suman cuatro veces la de una sola carga. Por el principio de superposición:

$\vec E=-4\,E_0\,\vec\jmath=-4\cdot 9\cdot 10^{5}\,\vec\jmath$

$\vec E=-3{,}6\cdot 10^{6}\,\vec\jmath\ \text{N/C}$

El campo en el centro vale $3{,}6\cdot 10^{6}\ \text{N/C}$ y está dirigido verticalmente hacia abajo, es decir, de las cargas positivas hacia las negativas.

$\textbf{b) Si en el centro del hexágono se coloca una carga puntual } \boldsymbol{q_{0} = -2\ \mu\text{C}}\textbf{, determine el vector fuerza total } \boldsymbol{\vec F}\textbf{ que las cargas situadas en las esquinas ejercen sobre esta carga } \boldsymbol{q_{0}}\textbf{.}$

La fuerza sobre una carga colocada en un campo eléctrico es:

$\vec F=q_0\,\vec E$

Como $q_0$ es negativa, la fuerza tiene sentido contrario al campo:

$\vec F=\left(-2\cdot 10^{-6}\right)\cdot\left(-3{,}6\cdot 10^{6}\,\vec\jmath\right)$

$\vec F=+7{,}2\,\vec\jmath\ \text{N}$

La fuerza vale $7{,}2\ \text{N}$ y está dirigida verticalmente hacia arriba, hacia la mitad del hexágono ocupada por las cargas positivas. Tiene sentido: una carga negativa es atraída por las positivas y repelida por las negativas, y las dos cosas empujan en el mismo sentido.