Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

La Estación Espacial Internacional (ISS) tiene una masa aproximada de 450000 kg y da 15,49 vueltas por día alrededor de la Tierra siguiendo una órbita aproximadamente circular.

a) ¿A qué altura por encima de la superficie terrestre se encuentra la ISS?

b) ¿Qué energía mecánica tiene la ISS?

Datos: constante de gravitación universal $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^{2}\,\text{kg}^{-2}$; masa de la Tierra $M_{\text{T}} = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; radio de la Tierra $R_{\text{T}} = 6378\ \text{km}$

$\textbf{a) ¿A qué altura por encima de la superficie terrestre se encuentra la ISS?}$










El dato del enunciado es el número de vueltas por día, del que sale directamente el periodo:

$T=\dfrac{86\,400\ \text{s}}{15{,}49}=5{,}58\cdot 10^{3}\ \text{s}$

es decir, poco más de hora y media por vuelta.





En una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta. Escribiendo la aceleración centrípeta en función del periodo se llega a la tercera ley de Kepler:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^{2}}=m\,\dfrac{4\pi^{2}\,r}{T^{2}}\Rightarrow r^{3}=\dfrac{G\,M_T\,T^{2}}{4\pi^{2}}$

$r=\sqrt[3]{\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot\left(5{,}58\cdot 10^{3}\right)^{2}}{4\pi^{2}}}=6{,}80\cdot 10^{6}\ \text{m}$

La altura es lo que sobra del radio terrestre:

$h=r-R_T=6{,}80\cdot 10^{6}-6{,}378\cdot 10^{6}=4{,}2\cdot 10^{5}\ \text{m}$

La ISS orbita a unos $4{,}2\cdot 10^{5}\ \text{m}$ de altura, es decir, alrededor de 420 km, que es efectivamente la órbita baja en la que se mantiene.

$\textbf{b) ¿Qué energía mecánica tiene la ISS?}$

Para una órbita circular, la energía cinética se obtiene de la misma igualdad entre la fuerza gravitatoria y la centrípeta:

$\dfrac12\,m\,v^{2}=\dfrac{G\,M_T\,m}{2\,r}$

y al sumarle la energía potencial resulta:

$E_m=\dfrac{G\,M_T\,m}{2\,r}-\dfrac{G\,M_T\,m}{r}=-\dfrac{G\,M_T\,m}{2\,r}$

$E_m=-\dfrac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 450\,000}{2\cdot 6{,}80\cdot 10^{6}}$

$E_m=-1{,}32\cdot 10^{13}\ \text{J}$

La energía mecánica de la ISS es de $-1{,}32\cdot 10^{13}\ \text{J}$. Es negativa, como corresponde a un cuerpo ligado al campo gravitatorio terrestre, y su valor absoluto es la energía que habría que aportarle para mandarla al infinito.