Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · La Rioja · 2025

Dos hilos infinitamente largos transportan corrientes $I_{1}$ e $I_{2}$ según indica la figura. Calcule la relación entre el valor de ambas corrientes para que el campo magnético total sea cero en cualquier punto del segmento punteado que forma $30^{\circ}$ con la horizontal.

$\textbf{Calcule la relación entre el valor de ambas corrientes para que el campo magnético total sea cero en cualquier punto del segmento punteado que forma } \boldsymbol{30^{\circ}}\textbf{ con la horizontal.}$










Sea $P(x,y)$ un punto cualquiera del segmento, con $x>0$ e $y>0$. Su distancia al hilo 1, que va sobre el eje Y, es la abscisa $x$; su distancia al hilo 2, que va sobre el eje X, es la ordenada $y$.

El módulo del campo de un hilo recto indefinido es:

$B=\dfrac{\mu_0\,I}{2\pi\,r}$





Los dos campos son perpendiculares al papel, porque los dos hilos están contenidos en él. Aplicando la regla de la mano derecha:

i) La corriente $I_1$ va en el sentido $+\vec\jmath$ y el punto está a su derecha, luego el campo que crea entra en el papel:

$\vec B_1=-\dfrac{\mu_0\,I_1}{2\pi\,x}\,\vec k$

ii) La corriente $I_2$ va en el sentido $+\vec\imath$ y el punto está por encima de ella, luego el campo que crea sale del papel:

$\vec B_2=+\dfrac{\mu_0\,I_2}{2\pi\,y}\,\vec k$

Al ser de sentidos opuestos, el campo total se anula cuando sus módulos coinciden:

$\dfrac{\mu_0\,I_1}{2\pi\,x}=\dfrac{\mu_0\,I_2}{2\pi\,y}\Rightarrow \dfrac{I_1}{x}=\dfrac{I_2}{y}$

$\dfrac{I_2}{I_1}=\dfrac{y}{x}$

Y aquí está la clave del problema: el cociente $y/x$ es la tangente del ángulo que forma con la horizontal la recta que une el punto con el origen. Para los puntos del segmento ese ángulo es siempre $30^\circ$, de modo que el cociente no depende del punto elegido y la condición se cumple a la vez en todos ellos:

$\dfrac{I_2}{I_1}=\tan 30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt3}=0{,}577$

La relación pedida es $\dfrac{I_1}{I_2}=\sqrt3\simeq 1{,}73$, es decir, por el hilo situado sobre el eje Y debe circular una corriente $\sqrt3$ veces mayor que por el situado sobre el eje X. Obsérvese que el campo se anula sobre toda una recta, y no solo en un punto, precisamente porque los dos campos decaen con la misma ley $1/r$.