Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · La Rioja · 2025

Un microscopio electrónico acelera electrones mediante una diferencia de potencial $\Delta V = 4000\ \text{V}$. Determine la longitud de onda de De Broglie de dichos electrones.

Datos: carga del electrón $q \approx -1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$; constante de Planck $h \approx 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$; masa del electrón $m \approx 9{,}11\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$

$\textbf{Un microscopio electrónico acelera electrones mediante una diferencia de potencial } \boldsymbol{\Delta V = 4000\ \text{V}}\textbf{. Determine la longitud de onda de De Broglie de dichos electrones.}$










Al atravesar la diferencia de potencial, el trabajo del campo eléctrico se invierte íntegramente en energía cinética, porque el electrón parte del reposo:

$W=|q|\,\Delta V=E_c$

$E_c=1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 4000=6{,}4\cdot 10^{-16}\ \text{J}$





De la energía cinética se obtiene la cantidad de movimiento del electrón. Se usa la expresión clásica porque la velocidad resultante, $3{,}7\cdot 10^{7}\ \text{m/s}$, es solo el 12 % de la de la luz:

$E_c=\dfrac{p^{2}}{2\,m}\Rightarrow p=\sqrt{2\,m\,E_c}$

$p=\sqrt{2\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 6{,}4\cdot 10^{-16}}=3{,}41\cdot 10^{-23}\ \text{kg m/s}$

Y de la hipótesis de De Broglie, la longitud de onda asociada:

$\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{3{,}41\cdot 10^{-23}}$

$\lambda=1{,}94\cdot 10^{-11}\ \text{m}$

La longitud de onda de De Broglie de esos electrones es de $1{,}94\cdot 10^{-11}\ \text{m}$, unas cincuenta veces menor que el tamaño de un átomo. Ahí está la razón de ser del microscopio electrónico: el poder de resolución está limitado por la longitud de onda, y esta es unas veinte mil veces más corta que la de la luz visible.