Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · La Rioja · 2025

Cinco cargas iguales $Q>0$ están igualmente espaciadas en un semicírculo de radio $R$ como indica la figura.



a) Calcule el campo eléctrico total en el centro del semicírculo.

b) Calcule la fuerza que esas cinco cargas ejercen sobre la carga puntual $q<0$ localizada en el centro del semicírculo.

c) Calcule el trabajo mínimo que hay que realizar para trasladar la carga puntual $q<0$ desde el centro del semicírculo hasta el infinito.

$\textbf{a) Calcule el campo eléctrico total en el centro del semicírculo.}$










Las cinco cargas son iguales y están todas a la misma distancia $R$ del centro, de modo que los cinco campos tienen el mismo módulo:

$E_i=k\dfrac{Q}{R^{2}}$

Cada uno se aleja de su carga, es decir, apunta desde la carga hacia el centro y más allá.





Las cinco cargas están equiespaciadas en el semicírculo, así que forman ángulos de $45^\circ$ entre sí. Tomando el eje X en la dirección del diámetro, las cargas ocupan las posiciones angulares $90^\circ$, $135^\circ$, $180^\circ$, $225^\circ$ y $270^\circ$.

Por el principio de superposición, el campo total es la suma vectorial de los cinco. La distribución es simétrica respecto del eje X, de modo que las componentes verticales se cancelan dos a dos y solo sobrevive la componente horizontal:

$E_y=0$

$E_x=k\dfrac{Q}{R^{2}}\left(\cos 0^\circ+2\cos 45^\circ+2\cos 90^\circ\right)$

$E_x=k\dfrac{Q}{R^{2}}\left(1+2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=\left(1+\sqrt2\right)k\dfrac{Q}{R^{2}}$

El campo eléctrico total en el centro vale, por tanto:

$\vec E=\left(1+\sqrt2\right)\dfrac{k\,Q}{R^{2}}\,\vec\imath\simeq 2{,}41\,\dfrac{k\,Q}{R^{2}}\,\vec\imath$

Está dirigido a lo largo del eje de simetría del semicírculo y se aleja de las cargas, como corresponde a cargas positivas.

$\textbf{b) Calcule la fuerza que esas cinco cargas ejercen sobre la carga puntual } \boldsymbol{q<0}\textbf{ localizada en el centro del semicírculo.}$

La fuerza sobre una carga puntual colocada en un campo eléctrico es:

$\vec F=q\,\vec E$

Como $q$ es negativa, la fuerza tiene sentido contrario al campo:

$\vec F=-\left(1+\sqrt2\right)\dfrac{k\,Q\,|q|}{R^{2}}\,\vec\imath$

En módulo:

$F=\left(1+\sqrt2\right)\dfrac{k\,Q\,|q|}{R^{2}}\simeq 2{,}41\,\dfrac{k\,Q\,|q|}{R^{2}}$

La fuerza apunta hacia el semicírculo, es decir, la carga negativa es atraída por las cinco cargas positivas, como cabía esperar.

$\textbf{c) Calcule el trabajo mínimo que hay que realizar para trasladar la carga puntual } \boldsymbol{q<0}\textbf{ desde el centro del semicírculo hasta el infinito.}$

El potencial es un escalar y las cinco cargas están a la misma distancia $R$ del centro, de modo que el potencial allí es simplemente cinco veces el de una:

$V_O=5\,k\,\dfrac{Q}{R}$

En el infinito el potencial es nulo. El trabajo mínimo que debe realizar un agente exterior es el que iguala la variación de energía potencial, llevando la carga sin energía cinética sobrante:

$W_{\text{ext}}=\Delta E_p=q\,V_{\infty}-q\,V_O=0-q\cdot 5k\dfrac{Q}{R}$

Y como $q=-|q|$:

$W_{\text{ext}}=5\,\dfrac{k\,Q\,|q|}{R}$

El trabajo mínimo es $W_{\text{ext}}=\dfrac{5\,k\,Q\,|q|}{R}$ y es positivo: hay que aportar energía, porque la carga negativa está ligada a las cinco positivas y por sí sola no se alejaría.