Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2026

Un rayo penetra desde el aire (índice de refracción $n_{1} = 1$) en una lámina muy larga de un material con índice de refracción $n_{2} = 1{,}5$ que está revestida en ambas caras de otro material externo de índice de refracción $n_{3} = 1{,}2$. Determine el valor máximo del ángulo de incidencia $\theta_{1}$ del rayo incidente para que el rayo sufra reflexión total en el punto P y, por tanto, no escape de la lámina interior.

$\textbf{Determine el valor máximo del ángulo de incidencia } \boldsymbol{\theta_{1}}\textbf{ del rayo incidente para que el rayo sufra reflexión total en el punto P y, por tanto, no escape de la lámina interior.}$

Hay que encadenar dos refracciones. Se empieza por el final, en el punto P, que es donde está la condición del problema.



En P el rayo pasa del núcleo, de índice $n_2$, al revestimiento, de índice $n_3$. Como $n_2>n_3$ puede haber reflexión total, y el ángulo límite es el que da un ángulo de refracción de $90^\circ$.

Aplicando la ley de Snell en P con $\hat r=90^\circ$:

$n_2\,\sin\theta_L=n_3\,\sin 90^\circ\Rightarrow \sin\theta_L=\dfrac{n_3}{n_2}=\dfrac{1{,}2}{1{,}5}=0{,}8$

$\theta_L=53{,}13^\circ$

Para que el rayo no escape hace falta que el ángulo de incidencia en P sea mayor o igual que el ángulo límite. Ahora se traslada esa condición a la cara de entrada.

Los ángulos $\theta_L$ y $\theta_2$ son complementarios, porque la normal de la cara de entrada es perpendicular a la normal de la cara inferior: uno se mide desde el eje de la lámina y el otro desde la vertical.

$\theta_2=90^\circ-\theta_L$

En el límite:

$\theta_{2,\max}=90^\circ-53{,}13^\circ=36{,}87^\circ\Rightarrow \sin\theta_{2,\max}=0{,}6$

Obsérvese que un ángulo de incidencia $\theta_1$ mayor produce un $\theta_2$ mayor y, por tanto, un $\theta_L$ menor, que es lo que haría escapar al rayo: de ahí que $\theta_{2,\max}$ corresponda al $\theta_1$ máximo.

Finalmente se aplica la ley de Snell en la cara de entrada, entre el aire y el núcleo:

$n_1\,\sin\theta_1=n_2\,\sin\theta_2$

$\sin\theta_{1,\max}=\dfrac{n_2\,\sin\theta_{2,\max}}{n_1}=\dfrac{1{,}5\cdot 0{,}6}{1}=0{,}9$

$\theta_{1,\max}=\arcsin(0{,}9)=64{,}16^\circ$

El ángulo de incidencia máximo es $\theta_{1,\max}=64{,}16^\circ$. Todo rayo que entre con un ángulo menor o igual que ese queda atrapado dentro de la lámina y avanza por ella rebotando entre las dos caras: es el principio de la fibra óptica. El resultado se puede escribir de forma compacta como $\sin\theta_{1,\max}=\sqrt{n_2^{2}-n_3^{2}}=\sqrt{1{,}5^{2}-1{,}2^{2}}=0{,}9$, expresión que se conoce como apertura numérica de la guía.