Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · La Rioja · 2026

Cuando un cátodo de potasio se ilumina con luz monocromática de 589 nm, se liberan electrones que para ser detenidos necesitan un potencial de frenado de 0,35 V. Si se ilumina con luz monocromática de 254 nm, el potencial de frenado de los electrones emitidos es de 3,14 V.

a) Calcule la función de trabajo o trabajo de extracción del potasio.

b) Determine el valor de la constante de Planck.

Datos: velocidad de la luz en el vacío $c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$; carga del electrón $q \approx -1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$

El enunciado da dos experiencias distintas sobre el mismo metal. En las dos se cumple la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, en la que la energía del fotón se reparte entre el trabajo de extracción y la energía cinética máxima del electrón emitido, que es la que mide el potencial de frenado:

$h\,\dfrac{c}{\lambda}=W_0+E_{c,\max}=W_0+e\,V_0$

Se plantea el sistema con los dos pares de datos:

$h\,\dfrac{c}{\lambda_1}=W_0+e\,V_1\qquad h\,\dfrac{c}{\lambda_2}=W_0+e\,V_2$

$\textbf{a) Calcule la función de trabajo o trabajo de extracción del potasio.}$

Restando la primera ecuación de la segunda desaparece el trabajo de extracción y queda despejado el producto $h\,c$:

$h\,c\left(\dfrac{1}{\lambda_2}-\dfrac{1}{\lambda_1}\right)=e\,(V_2-V_1)$

$h\,c=\dfrac{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot(3{,}14-0{,}35)}{\dfrac{1}{254\cdot 10^{-9}}-\dfrac{1}{589\cdot 10^{-9}}}=\dfrac{4{,}464\cdot 10^{-19}}{2{,}239\cdot 10^{6}}$

$h\,c=1{,}994\cdot 10^{-25}\ \text{J}\cdot\text{m}$

Se lleva este valor a la primera ecuación y se despeja el trabajo de extracción:

$W_0=h\,\dfrac{c}{\lambda_1}-e\,V_1=\dfrac{1{,}994\cdot 10^{-25}}{589\cdot 10^{-9}}-1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}35$

$W_0=3{,}385\cdot 10^{-19}-5{,}60\cdot 10^{-20}=2{,}82\cdot 10^{-19}\ \text{J}$

$W_0=\dfrac{2{,}82\cdot 10^{-19}}{1{,}6\cdot 10^{-19}}=1{,}77\ \text{eV}$

El trabajo de extracción del potasio es de $2{,}82\cdot 10^{-19}\ \text{J}$, es decir, $1{,}77\ \text{eV}$. Le corresponde una longitud de onda umbral de $7{,}06\cdot 10^{-7}\ \text{m}$, ya en el rojo, que es lo que hace del potasio un metal fotoeléctricamente sensible a la luz visible.

$\textbf{b) Determine el valor de la constante de Planck.}$

Basta dividir el producto obtenido en el apartado anterior entre la velocidad de la luz:

$h=\dfrac{h\,c}{c}=\dfrac{1{,}994\cdot 10^{-25}}{3\cdot 10^{8}}$

$h=6{,}65\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$

La constante de Planck obtenida a partir de las dos experiencias vale $6{,}65\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, con una diferencia inferior al 0,5 % respecto del valor aceptado, $6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

Conviene notar el significado gráfico del cálculo. Si se representa $e\,V_0$ frente a la frecuencia $f=c/\lambda$, la ecuación de Einstein se escribe $e\,V_0=h\,f-W_0$, que es la ecuación de una recta: la pendiente es la constante de Planck y la ordenada en el origen es el trabajo de extracción cambiado de signo. Los dos datos del enunciado son dos puntos de esa recta, y el cálculo anterior no es más que hallar su pendiente.